continuidad de funciones


LIMITE DE FUNCIONES


El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir o en el punto cEjemplo:

1.- Resolver el límite:   
Solución:

2.- Resolver el límite 
Solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existe el método de factorización:


1er Método
Por lo que aplicando la factorización:
  Estudio del límite de funciones en un punto; comenza dicho estudio analizando la gráfica de una función. Trata los teoremas referentes a los límites de funciones y los límites indeterminados  Estudio de la continuidad de funciones.

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica dela función



Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al1 por la derecha

x
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
f ( x )
2,71
2,9701
2,997001
¿?
3,003001
3,0301
3,31

f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3
La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función  menos el punto (1;3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Sif(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos 
Definición de límite de una función

Sea f una función definida en todo númerode algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una  tal que
si  entonces 
Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de ladiferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que  exista.


























Continuidad de funciones
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas soncontinuas en todos los puntos de su dominio.
La función  es continua en  − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función  es continua en .
Porque las funciones que lacomponen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.
Si f y g son continuas en x = a, entonces:
f + g es continua en x = a.
f · g es continua en x = a.
f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g es continua en x = a.





1
2
3
4
5
6

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

3Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:




APLICACIÓN DE LAS...