Continuidad y derivadas

MATEMATICA I
FACULTAD DE INGENIERÍA

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Idea Intuitiva: Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo cuyas gráficas se muestran a continuación: Y y
g (x) f (x)

f ( x0 )
x x0

g ( x0 )
x x0

Las funciones tienen un comportamiento distinto en el punto x0 , se puede decir que la función f es continua en x0 (es ininterrumpida, no presenta saltos),mientras que la función g es discontinua en el punto x0 (ya que presenta un salto en x0 ) Definición: (Función Continua en un punto) Sea f : R  R , f es continua en x  x0 , si y solo si, cumple: a. Existe f (x) b. Existe lim f ( x)
x x 0

c.

x  x0

lim f ( x)  f ( x0 )

Propiedades sobre continuidad Consideremos dos funciones f y g continuas en x  x0 , entonces: 1) f  g es continuaen x  x0 2) kf es continua en x  x0 , k  R 3) f .g es continua en x  x0 Ejemplos explicativos
 x2  9 ,  2  1) Dada f ( x)   x  2 x  3 3 2  si 0  x  5, x  3

Analizar la continuidad de la función en x  3
si x  3

Rpta: Es continua en x  3

Mag. Evelio Vigo Lecca

 x  2c ,  2) Si, f ( x)  3cx  k , 3 x  2k , 

x  2  2  x 1 x 1

Hallar c y k de talmodo que f sea continua en x0  2 y x0  1 Rpta: c  1 ; k  2 3 3
 x3 1 , x 1  3) Si f ( x)   x  1 8, x 1  Analizar la continuidad en x0  1 Rpta: No es continua en x  1

Ejemplos para el aula:
 x2  6 x  1  1) Si f ( x)  2 x  6  3  x  15 si 1  x  2 si 2  x  3 si 3  x  5

Analizar la continuidad de la función en x0  2 y x0  3 Rpta: No es continua en x  2 pero sies continua en x  3  x  x , x0  2) Dada, f ( x)   2 2, x0  Estudiar la continuidad de la función en el punto x0  0 Rpta: No es continua en x  0 2 x  4 , x2  3) Si f ( x)   x  2  A, x2  Determinar el valor de A, para que la función sea continua en x0  2 Rpta: A  4 EJERCICOS PROPUESTOS I. Analizar la continuidad de las siguientes funciones, en los puntos dados:
 x3  , 1)f ( x)   2 2 x ,  x2 x2

, en x0  2

 x  2, 2) f ( x)    x  2,

x3 x3

, en x0  3

1  x,  3) f ( x)  2  x, 2 x  1, 

x  2  2  x  2 , en x0  2 y en x0  2 x2
 3x 2  7 x  2 , x0  5) f ( x)   , en x0  0 x2 3, x0 

 x3  x 2  2 x  2 ,  4) f ( x)   x 1 4, 

x 1 x 1

, en x0  1

Mag. Evelio Vigo Lecca

 x 2  9, 6.- f (x)    x,
2 x  3,  8.- f ( x)  8  3 x,  x  3, 
1   xsen( ), 9.- f ( x)   x 0, 

x3 , en x0  3 x3

x 2 , 7.- f ( x)   2 x  1,

x3 , en x0  3 x3

x 1 1  x  3 , en x0  1 y , en x0  3 x3
x0 x0

, en x0  0

 x 2  2,  10.- f ( x)   senx , 2  x

x0 x0

, en x0  0

II. Determinar los valores de A y/o B para que las funciones sean continuasen los puntos dados:

 Ax 2 , 1) f ( x)   3,

x2 , en x0  2 x2

 Ax 2 , x4 2) f ( x)   , en x0  4  6 x  16, x  4 

x3 2 x  1,  2 3) f ( x)   Ax  B, 3  x  5 , en x0  3 y, en x0  5  x 2  2, x5 

x  2  x  2 A,  4) f ( x)  3 Ax  B,  2  x  1 , en x0  2 y, en x0  1 6 x  2 B, x 1 
 Ax 2  Bx  1,  5) f ( x)  2 Ax  B,  x  1,  x 1 1  x 2 , en x0  2 y, en x0  1 x2

DERIVADAS DE FUNCIONES Interpretación Geométrica de la Derivada y

LS
M

P
0

LT

x Consideremos la curva C : y  f ( x) y un punto fijo P0 ( x0 , y 0 ) de dicha curva, sea LS la recta secante que pasa por P0 ( x0 , y 0 ) y por M ( x, y )  C . La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P0 y M es:

Mag. Evelio Vigo Lecca

mLS  tan 

f ( x)  f ( x0 ) y  y 0  , x  x0 x  x0 x  x0

Si M ( x, y ) se acerca a P0 ( x0 , y 0 ) resulta que x se acerca a x0 , luego h  x  x0 se acerca a 0, con lo cuál se está haciendo uso del límite. Por lo tanto cuando M ( x, y ) se acerca a P0 ( x0 , y 0 ) la recta LS se transforma en LT , lo cual indica que el ángulo  tiende a convertirse en  y:
tan   f ( x 0  h)  f ( x 0 )...