control

SISTEMAS DE CONTROL - DAR´ FERNANDO FAJARDO
IO

Manipulaci´ n de Diagramas de Bloques y
o
Representaci´ n en Espacio de Estados
o

1

punto w, una salida.
Gwv =

´
´
I. M ANIPULACI ON Y R EDUCCI ON DE D IAGRAMAS DE
B LOQUES
A. Reducci´ n de Diagramas de Bloques
o
Las diferentes configuraciones de los diagramas de bloques
y sus pares equivalentes se muestran en la figura 1 juntocon
las propiedades matem´ ticas que representan.
a

W (s)
=
V (s)

Pi ∆i
i

∆

(1)

donde el t´ rmino Pi corresponde a la ganancia de lazo
e
unidireccional del i-´ simo camino directo entre v y w. La
e
funci´ n caracter´stica ∆ resulta de una sumatoria de todas las
o
ı
ganancias de lazo de la forma:
∆=1−(

Ganancias de lazo

+(

P roducto todos los lazos dobles que nose tocan

−(

P roducto todos los lazos triples que no se tocan

+ ···
∆i corresponde a la funci´ n caracter´stica ∆ resultante al
o
ı
quitar las ganancias que contengan al menos un elemento del
i-´ simo lazo.
e
Para el sistema representado en diagrama de bloques de la
figura 2 se puede observar que la funci´ n de transferencia Gyr
o
est´ dada por:
a
• Ganancias de lazo: −G1 G6 ,−G4 G5 , G3 G4 G7 ,
−G1 G3 G4 y G2 G4
• Producto todos los lazos dobles que no se tocan:
(−G1 G6 )(−G4 G5 ) y −(G1 G6 )(G2 G4 )
• Producto de todos los lazos triples y superiores que no
se tocan para este diagrama son cero.
• ∆ = 1 − (−G1 G6 − G4 G5 + G3 G4 G7 − G1 G3 G4 +
G2 G4 ) + (G1 G6 G4 G5 − G1 G6 G2 G4 )
• Ganancia de lazo unidireccional de camino directo (1)
entre v y w a trav´ sde G1 , G3 y G4 est´ dada por
e
a
G1 G3 G4
• Al quitar de ∆ las ganancias que tienen los elementos
G1 , G3 y G4 se obtiene ∆1 = 1
• Ganancia de lazo unidireccional de camino directo (2)
entre v y w a trav´ s de G2 y G4 est´ dada por −G2 G4
e
a
• Al quitar de ∆ las ganancias que tienen los elementos
G2 y G4 se obtiene ∆2 = 1 + G1 G6
Teniendo en cuenta los resultados anteriores lafunci´ n de
o
transferencia Gyr est´ dada por
a
P1 ∆ 1 + P2 ∆ 2
Y (s)
=
R(s)
∆

(2)

G1 G3 G4 · 1 + (−G2 G4 ) · (1 + G1 G6 )
∆

(3)

Gyr =
Gyr =
siendo

∆ = 1 + G1 G6 + G4 G5 − G3 G4 G7 + G1 G3 G4 − G2 G4
+G1 G6 G4 G5 − G1 G6 G2 G4
Fig. 1.

Reducci´ n de Diagramas de Bloques
o

(4)
De forma equivalente se puede obtener la ganancia Gyp
como:

B. F´ rmula de Mason
o
La f´rmula de Mason permite obtener la funci´ n de transo
o
ferencia desde un punto v, generalmente una entrada, hasta un

Gyp =

Y (s)
P1 ∆ 1
(−G4 ) · (1 + G1 G6 )
=
=
P (s)
∆
∆

(5)

SISTEMAS DE CONTROL - DAR´ FERNANDO FAJARDO
IO

2











Fig. 2.

Que en forma matricial
 
x1
˙
0 1 0
x2   0 0 1
˙  
.  
.  
. = 0 0 0
 
.  
.  0 0 0
.  
−an · · ·
xn
˙

se escribe
···

0



x1

···

0

..

.

.
.
.

···

1











x2
.
.
.
.
.
.
xn

· · · − a1

 
 
 
 
 
+
 
 
 


0



0
.
.
.





u




0
bm

(10)
Esta ecuaci´ n se conoce como ecuaci´ n de estado que en
o
o
forma general sedenota como

Diagrama de Bloques

x = Ax + Bu
˙

C. Representaci´ n en Espacio de Estados
o
Una forma opcional para la representaci´ n general de los
o
sistemas es la de Espacio de Estados una de las mas usadas
gracias a la informaci´ n que presenta en una forma mas directa
o
´
mediante una unica ecuaci´ n diferencial de orden uno en
o
forma matricial. Siendo y(t) la se˜ al desalida y u(t) la se˜ al
n
n
de entrada donde todas sus derivada son cero, la ecuaci´ n
o
diferencial que representa este sistema est´ dada por:
a
dn−1 y(t)
dy(t)
dn y(t)
+ a1
+ . . . + an−1
+ an y(t) = bm u(t)
n
n−1
dt
dt
dt
(6)
dn−1 y(t)
dy(t)
dn y(t)
= −a1
. . . − an−1
− an y(t) + bm u(t)
n
dt
dtn−1
dt
(7)

(11)

donde A se conoce como matriz de estado y es una...