Controlabilidad y observabilidad

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
LA TÉCNICA AL SERVICIO DE LA PATRIA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y
ELÉCTRICA
UNIDAD ZACATENCO

ING. EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN

TEORÍA DEL CONTROL III.

T
E
O
R
Í
A

PRÁCTICA 1:
-PROGRAMACIÓN EN MATLAB Y MANEJO DEL ALGEBRA LINEAL
EN LA COMPUTADORA DIGITAL.

INTEGRANTES DEL EQUIPO

D
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C
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N
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O
L



PROFESOR.
M.EN C. FRANCISCO J. VILLANUEVA MAGAÑA

GRUPO:
7AV1.

III
FECHA DE ENTREGA: 21 DE SEPTIEMBRE DEL 2013.

OBJETIVOS:
•

Conocer los comandos necesarios para el manejo y operaciones de matrices de espacio
de Estado en Matlab.

JUSTIFICACIÓN:
•

Ésta práctica fue realizada para que el alumno conozca y sepa emplear cada uno de los
comandos indispensables para el manejo y solución dematrices de espacio de estado
vitales para el curso.

MARCO TEORICO:

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema es controlable en el instante t0 si es posible llevarlo de cualquier estado
inicial x(t0) a cualquier otro estado, empleando un vector de control no acotado, en un lapso
finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempo t si, con el sistema en el estado x(t),
es posible determinar dicho estado a partir de las mediciones de la salida con un retaso finito
de tiempo.
El trabajo pionero de R. Kalman en el año de 1960 introdujo los conceptos de controlabilidad
y de observabilidad, que juegan un papel fundamental en el diseño de los sistemas de control
usando las técnicas de estado espacio. En efecto, las condiciones de controlabilidad y deobservabilidad determinan la existencia de una solución completa para el problema del diseño
de un sistema de control. Tal vez no exista una solución a este problema si el sistema estudiado
es no controlable. Aunque la mayoría de los sistemas físicos son controlables y observables,
los modelos matemáticos correspondientes pueden no tener la propiedad de controlabilidad
o de observabilidad. En tal caso,es esencial conocer las condiciones bajo las cuales un sistema
controlable y observable. Veremos primero la controlabilidad y dejaremos el análisis de la
observabilidad para el final.
Controlabilidad.
Consideremos al sistema en tiempo continuo:
=

+

En donde x = vector de estado (vector de orden n).

u = vector de control (de orden r).
A = matriz de orden n x n.
B = matriz de ordenn x r.
Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es de estado controlable en t = t0 si es
posible construir r señales de control sin restricción alguna que transfieran un estado inicial a
cualquier otro estado finito en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 Si todos los estados son
controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.
Ahora obtendremosla condición para una controlabilidad completa del estado. Sin perder la
generalidad, suponemos que el estado final es el origen en el espacio de estados y que el
tiempo inicial es cero, o t0 = 0.

La solución de la ecuación anterior es:

Aplicando la definición de controlabilidad completa del estado recién establecida, tenemos:

O bien:

Refiriéndonos al teorema de Cayley-Hamilton,podemos escribir e-Aτ como

(3)
Sustituimos e-Aτ de (3) en (2) por lo que

Definamos

Donde cada Uk es un vector columna de orden r. Así, la ecuación (4) se convierte en:

Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces dado cualquier estado inicial
x(0), la ecuación (5) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz de n filas y nr
columnas.

Sea de rango n, oque contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz
Recibe el nombre de matriz de controlabilidad.
Ejemplo:

Es singular el sistema no es controlable de estado completo.
Observabilidad.
Consideremos el sistema lineal e invariante en el tiempo

Donde
es el vector de estado,

es el vector de salida,
es el vector de entrada (o de control),
es la matriz de estados,...