Convolucion

Convolución

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Convolución
En matemáticas y, en particular, análisis
funcional, una convolución es un operador
matemático que transforma dos funciones f
y g en una tercera función que en cierto
sentido representa la magnitud en la que se
superponen f y una versión trasladada e
invertida de g. Una convolución es un tipo
muy general de media móvil, como se
puede observar si una de lasfunciones se
toma como la función característica de un
intervalo.

Definición
La convolución de

y

se denota

. Se define como la integral del

Convolución en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia,
corte longitudinal de una imagen 3D).

producto de ambas funciones después de
desplazar una de ellas una distancia .

Convolución de dos Pulsos Cuadrados (La funciónresultante termina siendo un
Pulso Triangular).

Convolución

Convolución de un Pulso Cuadrado (como señal de entrada) con la
respuesta al impulso de un condensador para obtener la señal de
salida (respuesta del condensador a dicha señal).

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Convolución

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Explicación visual de la convolución: Expresar cada función en términos de una variable
ficticia τ. Reflejar una de lasfunciones: g(τ) → g(-τ). Añadir un tiempo de
desplazamiento t, lo que permite que g(t - τ) se deslice a lo largo del eje τ. Hacer t igual a
-∞ y deslizarlo hasta llegar a +∞. Siempre que las dos funciones se intersequen, encontrar
la integral de su producto. En otras palabras, calcular el promedio ponderado desplazado
de la función f(τ), donde la función peso es g(-τ). La forma de onda resultante(no
mostrada aquí) es la convolución de las funciones f y g. Si f(t) es un impulso unitario, el
resultado de este proceso es simplemente g(t), que se denomina por tanto la respuesta del
impulso.

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango
de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas,periódicamente en ambas direcciones, tal que el
término g(t - η) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a
veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado
cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal,
especialmente en el casodiscreto que presentaremos abajo.
Si

e

son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g,

respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes delproducto están dados por la convolución de las
sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos
mencionado).

Convolución

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Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado
integrable definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente esla convolución
de distribuciones.

Uso
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
• En estadística, como un promedio móvil ponderado.
• En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes
es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
•En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa
cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la
sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen
correcta con el círculo borroso formado por el diafragma...