Coordenadas esfericas y cilindricas

Cambio de variable en una integral triple: coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas e
Al igual que en el caso de integrales dobles, en ocasiones un cambio de coordenadas puede facilitar la resoluci´nde una integral triple. o Un cambio de coordenadas cartesianas (x, y, z) a otras coordenadas (u, v, w) es un aplicaci´n biyectiva entre dos recintos D∗ y D de R3 dada por o
  x = x(u, v, w)   y = y(u, v, w) z = z(u, v, w)

Entonces la f´rmula de cambio de variable para integrales triples queda: o
D

f (x, y, z)dxdydz =

D∗

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw

dondeJ es el valor absoluto del Jacobiano de la funci´n de cambio de coordenadas. o Cambiaremos coordenadas cartesianas por cualquiera de los siguientes sistemas de coordenadas en R3 : Cordenadas cil´ındricas o polares en el espacio (ρ, θ, z) Las coordenadas cil´ ındricas consisten en tomar coordenadas polares (ρ, θ) en cada plano horizontal, es decir para cada valor constante de la coordenada z.
 x = ρ cos θ   

y = ρ sen θ; (ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π) z=z

y entonces J = ρ y dxdydz = ρ · dzdρdθ.
 √  ρ = x2 + y 2 

La inversa de este cambio es:  tg(θ) = y/x  z=z

Ecuaciones dealgunas superficies en cartesianas y cil´ ındricas: • Cilindro de generatrices paralelas al eje z: x2 + y 2 = k 2 (k constante) ⇔ ρ = k. • Esfera de centro (0, 0, 0) y radio r: x2 + y 2 + z 2 = r2 ⇔ ρ2 + z 2= r2 • Cono: x2 + y 2 − k 2 z 2 = 0 (k constante) ⇔ ρ2 − k 2 z 2 = 0 • Paraboloide: z = k(x2 + y 2 ) (k constante) ⇔ z = k · ρ2

Cordenadas esf´ricas en el espacio (ρ, θ, ϕ) e Las coordenadasesf´ricas (ρ, θ, ϕ) de un punto del espacio son su m´dulo ρ y su latitud e o θ y su altitud ϕ medidos sobre la esfera de radio ρ.
  x = ρ cos ϕcos θ   

y = ρ cos ϕsen θ; (ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π, −π/2 ≤ϕ < π/2) z = ρ sen ϕ

y entonces J = ρ2 cos ϕ y dxdydz = ρ2 cos ϕ · dρdϕdθ.
 √  ρ = x2 + y 2 + z 2   

La inversa de este cambio es:

tg(θ) = y/x √ sen(ϕ) = z/ x2 + y 2 + z 2...