Correcion De Certamne

1. En Z considere la ldci *y ∘ como a*b=a+b-1 y a∘b=a+b-ab
Pruebe que (Z, *, ∘) es un anillo. Analice si tiene unidad. (Suponga que * es asociativa)

Por Definición de anillo tenemos: Sea A un conjunto no vacío provisto de dos operaciones anotadas como + y ∙ . El trío (A, +, ∙ ) se llama un anillo ssi:
a. (A, + ) es un grupo abeliano
b. ∙ es cerrada
c. ∙ es asociativa
d.∙ es distributiva sobre + (izq-derecha)

a) Veamos si (z, ∗) es un grupo abeliano.
(ii) ∗ es cerrado en Z
Sean a, b ∈ Z, por demostrar a∗b ∈ Z
a∗b=a+b-1
Observemos que a+b-1 ∈ Z pues a, b y -1 ∈ Z
Por lo tanto ab ∈ Z

(ii) ∗ es asociativa
(Se cumple, pues nos lo dan como condición del ejercicio)

(iii) Antes de demostrar si es que existe neutro e inverso, veremos si es que (Z,∗) es conmutativo, pues si lo es, y si encontramos que existe neutro e inverso por derecha estos también serán por izquierda y por ende no será necesario probar esto ultimo.

Sean a, b ∈ Z, debemos probar que a∗b=b∗a

a∗b=a+b-1, pero a, b y -1 ∈ Z, asi a∗b=b+a-1 por lo tanto a∗b=b∗a

(iv) ∃ neutro e para * en Z

Sea a ∈ Z, debemos probar que existe e.
a∗e=a
a∗e=a+e-1
a+e-1=a /+ (-a)a+(-a)+e-1=a+(-a)
e-1=0 /+1
e=1

Por lo tanto existe elemento neutro por derecha y como en (iii) probamos que (Z, ∗) es conmutativo también existe e por izquierda.

(v) Cada elemento de Z tiene inverso.

Sea a ∈ Z, debemos probar que cada elemento de Z tiene inverso.
(Anotaremos a` como el inverso de a)
a∗a`=e
a∗a`=a+a`-1
a+a`-1 =e, pero e=1
a+a`-1=1 /+1
a+a`-1+1=1+1
a+a´=2/+(-a)
a´=2-a

Por lo tanto existe inverso para cada elemento de Z por izquierda y como en (iii) probamos que (Z, ∗) es conmutativo también existe a` por izquierda.

De (i), (ii), (iii), (iv) y (v) (Z, *) es un Grupo abeliano.

a. ∙ es cerrada

Sean a, b ∈ Z, debemos probar que a∘b ∈ Z

a∘b=a+b-ab, pero a, b ∈ Z, así a+b ∈ Z y ab ∈ Z
De lo anterior a+b-ab ∈ Z, por lo tanto a∘b ∈ Zc. ∙ es asociativa

Sean a, b, c ∈ Z, debemos probar que (a∘b)∘c=a∘(b∘c)
= (a∘b)+c-(a∘b)c
= (a+b-ab)+c-(a+b-ab)c
= a+b-ab+c-(ac+bc-abc)
= a+b-ab+c-ac-bc+abc
= a+b+c-bc-ab-ac+abc
= a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)
= a∘(b+c-bc)
= a∘(b∘c)

(a∘b)∘c



Por lo tanto (a∘b)∘c=a∘(b∘c)

d. ∘ es distributiva sobre ∗ (izquierda y derecha)

Sean a, b, c ∈ Z, debemos probar que:

(I)a∘(b∗c)=(a∘b)∗(a∘c)
(II) (a∗b)∘c=(a∘c)∗(b∘c)
(i) a∘(b∗c)

=a+(b∗c)-a(b∗c)
=a+(b+c-1)-a(b+c-1)
=a+b+c-1-ab-ac+a
=a+b-ab+a+c-ac-1
=a+b-ab+(a+c-ac)-1
=(a∘b)+(a∘c)-1
=(a∘b)∗(a∘c)


ii. (a∗b)∘c
=(a∗b)+c-(a∗b)c
=(a+b-1)+c-(a+b-1)c
=a+b-a+c-ac-bc+c
=a+c-ac+b+c-bc-1
=(a+c-bc)+(b+c-bc)-1
=(a∘c)+(b∘c)-1
=(a∘c)*(b∘c)




De (I) e (ii) ∘ es distributiva sobre ∗
Por lo tantode a, b, c y d (Z, ∗, ∘) es anillo.
Analice si tiene unidad
Por definición tenemos: ∘ tiene neutro, se dice que A es un anillo con unidad (se anota por 1)
Veamos si existe neutro e
(i)
a∘e=a
a∘e=a+e-ae
a+e-ae=a /+(-a)
a+(-a)+e-ae=a+(-a)
e+-ae=0
e(1-a)=0……….¿y si 1-a es cero?? Hay que analizar este caso…
e=0

Por lo tanto existe elemento neutro por derecha.

Veamos porizquierda:

(ii)

e∘a=a
e∘a=e+a-ea
e+a-ea=a
e-ea=0
e(1-a)=0
e=0

Existe neutro por izquierda.

De (i) e (ii) El anillo (Z, ∗, ∘) tiene unidad e=0.

2) Encuentre dos subgrupos normales (no triviales) del grupo (D4° ) de las simetrías del cuadrado. (Muestre sus cálculos que justifican su afirmación)
o | E | T1 | T2 | T3 | σ1 | σ2 | τ1 | τ2 |
E | E | T1 |T2 | T3 | σ1 | σ2 | τ1 | τ2 |
T1 | T1 | T2 | T3 | E | τ1 | τ2 | σ2 | σ1 |
T2 | T2 | T3 | E | T1 | σ2 | σ1 | τ2 | τ1 |
T3 | T3 | E | T1 | T2 | τ2 | τ1 | σ1 | σ2 |
σ1 | σ1 | τ2 | σ2 | τ1 | E | T2 | T3 | T1 |
σ2 | σ2 | τ1 | σ1 | τ2 | T2 | E | T1 | T3 |
τ1 | τ1 |...