cramer

Cálculo científico y técnico con
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3 Aplicaciones
Tema 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales:
regla de Cramer
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superiror de Ingeniería Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.3

1

Regla de Cramer

1.1

Descripción del método

Un sistema de m ecuaciones linealescon n
cribirse matricialmente en la forma
⎛
⎞⎛
a11 a12 · · · a1n
⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎜
⎜
⎟⎜
⎜ ..
⎟⎜
..
. . ..
⎝ .
⎠⎝
.
.
.
am1 am2 · · · amn

o de forma abreviada

incógnitas x1 , . . . , xn , puede esx1
x2
..
.
xn

⎞

⎛

⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟=⎜
⎠ ⎝

b1
b2
..
.
bm

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

Ax = b.
donde:
• A es la matriz de coeficientes.
• x es un vector columna deincógnitas.
• b es un vector columna de términos independientes.
El sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese
caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

1

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si tiene solución única.
Un sistema de Cramer es compatible determinado si y sólo si
∆ = det A 6= 0.
En ese caso, definimos la matriz Aj comola que se obtiene a partir de A
sustituyendo la columna j por el vector b, esto es, si cj es la columna j de
A,
⎞
⎛
a1j
⎜ a2j ⎟
⎟
⎜
A = (c1 , c2 , . . . , cn ) ,
cj = ⎜ . ⎟ ,
⎝ .. ⎠
anj

entonces la matriz Aj tiene la siguiente estructura

Aj = (c1 , c2 , . . . , cj−1 , b, cj+1 , . . . , cn ) .
Representamos por ∆j el determinante de Aj
∆j = det Aj = det (c1 , c2 , . . . , cj−1 ,b, cj+1 , . . . , cn ) .
Entonces la solución del sistema viene dado por la denominada regla de
Cramer
∆1
∆2
∆n
, x2 =
, . . . , xn =
.
x1 =
∆
∆
∆

Ejemplo 1.1 Notación matricial y regla de Cramer.
Tomemos por ejemplo el sistema
⎧
⎨ 2x1 + 3x2 + x3 = 3,
x − x2 + x3 = 5,
⎩ 1
x2 + x3 = −2.

La expresión matricial es
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
2 3 1
3
x1
⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 5 ⎠ .
x30 1 1
−2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor
¯
¯
¯ 2 3 1 ¯
¯
¯
∆ = ¯¯ 1 −1 1 ¯¯ = −6,
¯ 0 1 1 ¯
2

por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Calculamos
¯
¯
¯ 3
3 1 ¯¯
¯
∆1 = ¯¯ 5 −1 1 ¯¯ = −24,
¯ −2 1 1 ¯
¯
¯ 2
¯
∆2 = ¯¯ 1
¯ 0
¯
¯ 2
¯
∆3 = ¯¯ 1
¯ 0

¯
3 1 ¯¯
5 1 ¯¯ = 9,
−2 1 ¯
¯
3
3 ¯¯
−1 5 ¯¯ = 3.
1 −2 ¯

De dondeobtenemos la solución del sistema
x1 = 4,

1.2

3
x2 = − ,
2

x3 =

−1
.
2

Resolución con la calculadora

El método de Cramer es adecuado para sistemas de pequeña dimensión. En
la resolución con la calculadora, emplearemos algunos comandos de manipulación de matrices
• DET

Calcula el determinante, está en [MATRICES][OPER].

• COL+ Añade una columna a una matriz.
• COL- Eliminauna columna de una matriz.
• CSWP Intercambia dos columnas.
Para escribir los comandos [COL+], [COL—] y [CSWP] podemos emplear el
soft-menú [MATRICES][CREAT][COL].
Actividad 1.1 Accede al menu de herramientas para matrices1 y localiza los
comandos [DET], [COL+], [COL—] y [CSWP].
Vamos a resolver el sistema del ejemplo anterior
⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞⎛
3
2
3 1
x1
⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 5 ⎠ ,
x3−2
0
1 1
realiza los siguientes pasos.
1

Tecla Á[5].

3

1. Entra la matriz de coeficientes en la pila, ya sea mediante el editor de
matrices2 [MTRW], o bien directamente en la forma

Después de pulsar ENTER, obtendrás

2. Guarda la matriz de coeficientes con el nombre A.
3. Carga A en la pila y ejecuta DET3 , el resultado es −6. Guarda el valor
del determinante con el nombre D.4. Crea un vector con los términos independientes, y usa el comando
[COL+] para formar la matriz ampliada. Para ello carga en Nivel 3
de la pila la matriz A, en el Nivel 2 un vector con los elementos de b y
en el Nivel 1 el índice de posición para la nueva columna, en nuestro
caso 4

Después de ejecutar [COL+], obtendrás la matriz ampliada.
2
3

Tecla Á(4,3)
Puedes obtener el...