Criterio De La Primera Y Segunda Derivada.

Criterio de la primera derivada.

Si c es un punto del dominio D de la función tal que (c) es mayor o igual que () para toda x en D, entonces (c) es el valor máximo absoluto de () en D.
Si (c) es menor o igual que (c) para toda en Dm entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de () en D. si el dominio de definición de es claro (como cuando está definida en toda la rectareal) podemos decir simplemente que (c) es el valor máximo (o mínimo) absoluto de ()
La palabra “global” se puede usar en vez de “absoluto”. La distinción entre los valores extremos globales y locales es importante; (c) es un valor máximo local de () si (c) es el valor máximo global de () en algún intervalo abierto que contenga a “c”; de manera análoga, un valor mínimo local (c) es unvalor mínimo global de () en algún intervalo abierto que contenga a c. véase en la figura (1).

Figura (1).

Teorema: Cualquier extremo de la función derivable en un intervalo abierto I debe aparecer en un punto crítico, donde la derivada se anule:
() =o
Pero el simple hecho de que (c)=0 no implica, por sí solo, que el valor crítico (c) sea un valor extremo de. Véase en la figura (2).Figura (2).

Se necesita un criterio para decidir si, en el punto crítico x=c, el valor (c) es realmente un valor máximo o mínimo de (), ya sea local o global. Véase en la figura (3).

Figura (3). El criterio de la primera derivada.

La figura anterior muestra cómo desarrollar este criterio. Suponga que la función es continua en “c” y que “c” es un punto interior del dominio de; esdecir, está definida en cierto intervalo abierto que contiene a “c”. Si es decreciente inmediatamente a la izquierda de “c” y creciente inmediatamente a la derecha de “c”, entonces (c) debe ser un valor mínimo local de (). Pero si es creciente inmediatamente a la izquierda de “c” y decreciente inmediatamente a su derecha, entonces (c) debe ser un máximo local. Si es creciente a ambos lados odecreciente a ambos lados, entonces (c) no es un valor máximo ni un valor mínimo de ().
El signo de la derivada () determina los puntos donde () es decreciente y los puntos donde es creciente:

() es decreciente si () < 0;
() es creciente si () > 0.

En el siguiente criterio para extremos locales, decimos que:

() < 0 a la izquierda de “c” si () < 0en algúnintervalo (a, c) de números inmediatamente a la izquierda de “c” y que
() > 0 a la derecha de c si () > 0 en algún intervalo (c, b) de números inmediatamente a la derecha de “c”, etc.

Teorema 1: El criterio de la primera derivada para extremos locales.

Suponga que la función es continua en el intervalo I y que también es derivable ahí, excepto posiblemente en el punto interior “c”de “I”.

1. Si () < 0 a la izquierda de “c” y () > 0 a la derecha de “c”, entonces (c) es un valor mínimo local de () en “I”.
2. Si () > 0 a la izquierda de “c” y () < 0 a la derecha de “c”, entonces (c) es un valor máximo local de () en “I”.
3. Si () > 0 a la izquierda y a la derecha de “c”; o bien si () < 0 a la izquierda y a la derecha de “c”, entonces(c) no es un valor mínimo ni máximo de (). Véase en la figura (4).

Figura (4). El criterio de la primera derivada.


Demostración del teorema.

Figura (5). Los tres casos en el criterio de la primera derivada.



La idea de demostración se ilustra en la figura (5). La parte (a) muestra a decrecientea la izquierda de “c” y creciente a la derecha, por lo que debe existir un mínimo local en x = c. La parte (b) muestra a creciente a la izquierda de “c” y decreciente a la derecha, por lo que (c) es un valor máximo local de (). En la parte (c), la derivada tiene el mismo signo a ambos lados de “c”, por lo que no existe un extremo de cualquier tipo en x=c.

Las figuras (6 a la 10) ilustran...