Criterios De Convergencia

´cnica Federico Santa Mar´ıa
Universidad Te
´ tica
Departamento de Matema
Gu´ıa de Ejercicios Resueltos1
Series (Criterios de Convergencia)
MAT-022
1. Analice la convergencia de las siguientes series:
∞

a)

n sin
n=1

∞

2
,
n

b)
n=0

∞

n
,
5
n +1

n2 e−n .

c)
n=1

Soluci´
on:
(a) Diverge, pues
2
n

lim n sin

n→∞

= 2 lim

2
n

sin
2
n

n→∞

= 2 = 0.

∞

1
. Alternativamente se puede usar elcri4
n
n=1
1
terio de comparaci´on al l´ımite con la sucesi´on bn = 4 .
n
(c) Converge. Aplique el criterio del cuociente:

(b) Converge. Compare con

(n + 1)2 e−(n+1)
1
= .
2
−n
n→∞
ne
e
lim

2. Estudie la convergencia de las siguientes series
√
∞
∞
∞
n
n2 e−2n
−n−(−1)n
a)
2
,
b)
,
c)
n+1
n2 + 1
n=1
n=1
n=1
Soluci´
on:
(a) Aplicar el criterio de la ra´ız,
lim a1/n
=
n

n→∞

=

lim 2−n−(−1)

n1
n

n→∞

lim 2−1 2

(−1)n+1
n

n→∞

(−1)n+1
n
= 2−1 2 n→∞
1
= 2−1 20 = < 1
2
lim

N´otese que lim
n→∞
acotamiento.
1

(0.1)
(0.2)
(0.3)
(0.4)

(−1)n+1
= 0, el cual se deduce utilizando el teorema de
n

Printed in LATEX. EOP/eop. 21st August 2006

1

(b) Para todo n ≥ 1,

√

√

n ≥ 1. Luego

∞

n
1
≥
. Ahora, dado que
n+1
n+1

1
es divergente, se tiene que la serie en cuesti´on tambi´en es din+1n=1
vergente.
(c) Utilice criterio de comparaci´on al l´ımite. En efecto, sea an = e−2n , entonces la siguiente es una serie geom´etrica convergente
∞

∞

n=1

n

e−2

an =

=

e2

n=1

1
.
−1

n2
bn
n2
a
,
entonces,
lim
=
lim
= 1 luego, por
n
n→∞ an
n→∞ 1 + n2
1 + n2
∞
n2 e−2n
comparaci´on al l´ımite la serie
converge.
n2 + 1
n=1
Def´ınase bn =

3. Calcular la suma de las siguientes series:
∞

a)n=1

∞

1
k(k + 2)

, b)
n=1

1
n

x
1−x

∞

n

(para x <

1
)
2

, c)
n=1

n−1
n!

Soluci´
on:
(a) Es necesario reescribir convenientemente la serie para poder aplicar la
propiedad telesc´opica; a saber:
∞

n=1

1
1
=
k(k + 2)
2

∞

k=1

1
1
−
k k+2

1
=
2

∞

k=1

1
1
−
k k+1

∞

+
k=1

1
1
−
k+1 k+2

Y, por propiedad telesc´opica, se tiene que
∞

n=1

1
1
=
k(k + 2)
2

∞

1+

1
2

=

3
.
4

n1
x
. Derivando esta funci´on (supongamos
n
1
−
x
n=1
que se puede derivar t´ermino a t´ermino), se tiene:

(b) Definamos s(x) =

d
s(x) =
dx

∞

n=1

x
1−x

n−1

1
1
1
1
=
.
x =
2
2
(1 − x)
(1 − x) 1 − 1−x
(1 − x)(1 − 2x)

De donde se deduce que
s(x) = ln

1−x
+C
1 − 2x

donde C es una constante a determinar. Claramente, a partir de la
definici´on se tiene que s(0) = 0, con lo cual se tiene que C= 0.
2

.

(c) Usando el hecho que

∞

n=0

1
=e
n!

se tiene:
∞

n=1

n−1
=
n!

∞

n=1

∞

1
1
−
=
(n − 1)! n=1 n!

∞

n=0

1
− (e − 1) = e − (e − 1) = 1
n!
∞

4. (a) Demuestre que para todo n´
umero real p, la serie
n=1
∞

(b) Estudie la convergencia de la serie
n=1

1 + 10
n
n!

epn
converge.
n!

n2

.

Soluci´
on:
a) En este problema usamos el criterio del cuociente con an =
an+1 =

e(n+1)p. De este modo
(n + 1)!

enp
y
n!

an+1
ep
=
→ 0 si n → ∞.
an
n+1
∞

En consecuencia, la serie
n=1

epn
converge para todo p real.
n!

b) En este problema se utilizar´a el criterio de comparaci´on. En efecto, es
bien conocido que
n
10
1+
≤ e10 ,
n
por lo que el t´ermino n-´esimo de la serie en cuesti´on es acotado superiormente por
e10n
,
n!
y como esta sucesi´on genera una sucesi´on convergente(ver ejercicio anterior), entonces la serie estudiada converge.
5. Demuestre que la serie

2
3
1
+ + + · · · converge y calcule su valor.
2! 3! 4!

2
3
1
+ + + ···
Soluci´
on: N´otese que el t´ermino de la general de la serie
2! 3! 4!
k
es
. Para analizar convergencia se puede usar el criterio del cuociente,
(k + 1)!
an+1
n + 1 (n + 1)!
n+1
= lim
= lim
= 0 < 1.
n→∞ an
n→∞ (n + 1)!
n→∞ n(n + 2)
nlim

3

an+1
< 1, se deduce que la serie converge.
n→∞ an

Dado que lim

Para hallar su valor, notemos que la suma parcial sn se puede reescribir como:
n

sn =
k=1

k
=
(k + 1)!

n

k=1

k+1−1
=
(k + 1)!

n

k=1

1
1
−
k! (k + 1)!

La u
´ltima suma obtenida coresponde a una telesc´opica, luego
n

sn =
k=1

k
1
=1−
(k + 1)!
(n + 1)!

De donde se deduce que la serie converge y su valor es 1, pues...