cualculo funciones

3.1 Problemas de programación no lineal
Planteamiento del problema de Programación No Lineal.

El objeto de las siguientes secciones es definir una serie de conceptos relacionados con el problema general de programación no lineal, así como el estudio de las relaciones existentes entre cada uno de ellos y la solución de dicho problema.

Los conceptos que estudiaremos serán los siguientes:• Punto estacionario, en la sección 3.

• Punto minimax, íntimamente relacionado con el concepto de dualidad, y que se estudiará en la sección 4.

Veremos que, en general, será más directa la demostración de la suficiencia de estas condiciones para asegurar que tenemos una solución del problema que la de la necesariedad de las mismas, para las que habrá que imponer condiciones deregularidad sobre las restricciones del problema, que llamaremos cualificaciones de restricciones. En esta sección se enuncian varias cualificaciones de restricciones y se estudia la relación entre ellas. En general, los resultados que se obtienen generalizan los dados en la sección anterior para los problemas con restricciones de igualdad, en el sentido de la existencia de condiciones de primer ordenque implican a las primeras parciales de la función de Lagrange asociada al problema, y condiciones de segundo orden que suponen convexidad de ciertas funciones.

Un problema general de programación no lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables que maximizan o minimizan una función dada, dentro de un conjunto definido por una serie de restricciones de desigualdad, de formaque no hay aseguradas condiciones de linealidad ni sobre la función a optimizar ni sobre las funciones que definen el conjunto dentro del cual buscamos dicho óptimo.



donde:



y son ambas al menos de clase dos en todo su dominio.

El conjunto de oportunidades X es el conjunto en el cual maximizamos la función, es decir, la intersección entre el dominio de las funciones delproblema y el conjunto determinado por las restricciones. Así,

donde

X = { x ∈ D / g(x) ≤ b },

b = (b1 ,…, bm).

Este tipo de problemas es muy representativo de las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica. Normalmente, se dispone de cantidades limitadas de recursos, pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad, si ello no resultase adecuado. Porconsiguiente, es posible pensar en soluciones factibles y óptimas que no saturen necesariamente todas las restricciones, dejando un excedente inutilizado del recurso cuya disponibilidad limitan.

Se debe tener en cuenta sin embargo, en relación con el problema formulado, que el sentido de las desigualdades (≤) es únicamente cuestión de convenio. Una restricción con la desigualdad contraria puedereducirse a una del tipo anterior sin más que multiplicar por (-

1). Por otra parte, una restricción de igualdad puede reemplazarse por dos de desigualdad, por ejemplo, g(x) = b se convierte en g(x) ≤ b y -g(x) ≤ -b. O bien puede ser tratada directamente, sin restringir el signo del multiplicador correspondiente.

En ocasiones, para que el problema sea económicamente significativo, es necesarioque las variables instrumentales sean no negativas, es decir, x ≥ 0. Más adelante en este capítulo, daremos un tratamiento específico a estas restricciones.

Asociadas al problema de maximización, podemos definir la siguiente función, muy importantes en lo que sigue:

• Función de Lagrange L:

L : D × Rm+ → R

L(x, ë) = f(x) – ët[g(x) - b] 1,

donde ë ∈ Rm+ es el vector demultiplicadores asociado al bloque de restricciones del problema, también denominados multiplicadores de Kuhn-Tucker.

Dado un vector b ∈ Rm, si llamamos x0(b) a la correspondiente solución del problema de programación no lineal, se puede demostrar, análogamente a lo que vimos en el caso con restricciones de igualdad, que, para cada j = 1, …, m, anterior, una disminución del valor de...