Cuatro
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12,..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremoslos números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
[pic]
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
[pic]
8, 3, -2, -7 , -12.
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an[pic]
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
[pic]
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
[pic]
Ejercicios resueltos progresiones aritméticas
1
El cuarto término de una progresión aritmética es 10, yel sexto es 16. Escribir la progesión.
a 4 = 10; a 6 = 16
a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...
2
Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.
a= 3, b= 23;
[pic]
d= (23-3)/(3+1) = 5;
3, 8, 13, 18, 23.
Ejercicios resueltos progresiones aritméticas
3
Interpolar tres mediosaritméticos entre 8 y -12.
[pic]
8, 3, -2, -7 , -12.
4
El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a 1 = − 1; a 15 = 27;
a n = a 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
5
Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de5.
a1= 5; d= 5; n = 15.
a n = a 1 + (n - 1) · d
[pic]
a15 = 5 + 14 · 5 = 75
S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.
6
Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
a1= 5; d= 10 ; n= 15.
a15= 5+ 14 ·10= 145
S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125
7
Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
a1= 6; d= 2; n=15.
a15 = 6 + 14 · 2 = 34
S15= (6 + 34) · 15/2 = 300
8
Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
360= ( a1 + a4) · 4/2
a4= a1 + 3 · 25
360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2
a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'
9
Elcateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64
d = 8
8, 16, 24.
10
Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.
Término central [pic]x
1º [pic]x - d
3º [pic]x + d.
x − d+ x + x + d = 27
x = 9
(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2
d = ± 5 / 2
13 / 2, 9, 23/2
23 / 2, 9, 13/2
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
[pic]
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión...
Regístrate para leer el documento completo.