Curvas Verticales

El diseño de la curva vertical en creta y en columpio, es una función de la diferencia algebraica de las pendientes de las tangente que se intersecan, de la distancia de visibilidad deparada o de rebase las cuales a su vez son funciones de la velocidad del proyecto de los vehículos y de la altura de la visión del conductor sobre la carretera; y del drenaje. Además de estos factores el diseñode las curvas verticales en columpio depende también de la distancia que cubre el haz de luz de los faros del vehículo, de la comodidad del viajero y de la apariencia.
Los detalles que gobiernan el diseño de las curvas verticales, rebasan al alcance de este texto y pueden consultarse el libro de diseño Geométrico de carreteras rurales y urbanas (AASHTO)
Únicamente se proyectara curvaverticales cuando la diferencia algebraica entre dos pendientes sea mayor de 0.5% ya que en los casos de diferencia igual o menor de la indicada el cambio se tyan pequeño que en el terreno se pierde durante la construcción.
Análisis Geométrico de las Curvas Verticales.
Para hacer análisis geométricos tomemos el caso de la curva vertical simétrica siguiente:

PCV. Punto de comienzo de la curvavertical.
PTV. Punto de terminación de la curva vertical.
PIV. Punto de intersección vertical de la tangente.
P₁ P₂ Pendientes de las tangente de entrada y salida respectivamente.
L Longitud total de la curva vertical.
Y Ordenada del punto P de la curva vertical.

V : Ordenada vertical desde la prolongación de la tangente, a un punto P de la curva (V = NP).
Ø : Ordenadavertical desde el vértice a la curva.
X : Distancia del PCV a un punto P de la curva.
La variación de la pendiente de la tangente a la curva, es constante a lo largo de ella, o sea; la segunda derivada de y con respecto a x es una constante.
d2 y = k = Constante
dx2
Integrando tenemos la primera derivada o la pendiente de la parábola.
dy = kx + C
dx
Cuando x = 0 ; dy = P1 de modo que P1 = 0 + C .dx
Cuando X = L ; dy = P2 de modo que P2 = KL + C.
dx
Así : P2 = KL + P1, por lo que:
K = P2 - P1 (Se define como grado de cambio de pendiente en porcentaje por estación)
L
De manera que:
d y = P2 - P1 X + P1
dx L
Integrando nuevamente para obtener ”Y” tenemos:
Y = P2 - P1 x² + P1 x + C¹
L 2Cuando X = 0, Y = 0 , C¹=0
Por otro lado tenemos : P1 = Y + V de modo que: Y = P1 x – v
X

Sustituyendo valores:
P1 x – v = P2 - P1 x² + P1 x
L 2
Así tenemos que:
V = P2 - P1 x²
2L
Podemos prescindir del signo de V, sabiendo que si la curva esta en el columpio, se suma la cota deltangente en el punto considerado, para encontrar el punto correspondiente de la curva y si la curva esta en cresta, se restara Así : V = P2 - P1 x²
2L

donde:
V = Ordena vertical ala curva de la tangente.
La cual es la ecuación de la curva Parabólica y se puede utilizar para calcular las elevaciones si se conocen P2, P1 , L y la elevación del PCV.
El punto mas bajo o mas alto de una curva vertical, es de interés frecuente para el diseño del drenaje. En el punto mas bajo o mas alto, la tangente en la curva vertical es cero. Con la igualación con cero de la primera derivada de Y con respecto a X se obtiene:
KX + P1 = 0
X = - P1 Sustituyendo el valor de k nos queda:
K

X = P1 L
P2 - P1X : es la distancia medida a partir del PCV.
Calculo de Curvas Verticales Simétricas.
Uno de los métodos para calcular una curva vertical se explica en el siguiente ejemplo: En un ferrocarril, una pendiente de + 0.8% se cruza con otro de -0.4% en la estación 90 + 000 y una elevación de 100.00 m. El cambio máximo de pendiente permitido por estación es de 0.2 (de especificaciones). Se desea...