curvas

Matem´ticas II
a
CURVAS
En este tema introduciremos nuevos conceptos relacionados con la curva y sus
parametrizaciones.
Definiciones.- Sea γ : I = [a, b] → Rn .
• Se dice que la curva es cerrada si γ(a) = γ(b).
• Se dice que la curva es simple si es inyectiva salvo para a y b, es decir, si para
cualesquiera puntos x, y ∈ I, distintos, γ(x) = γ(y), salvo quiz´s para a y
a
b.
• Si no esinyectiva, entonces existen x, y ∈ I distintos tales que γ(x) = γ(y).
Al punto γ(x) se le llama punto m´ltiple de γ.
u
• En R3 , se dice que una curva es plana si est´ contenida en un plano.
a
Ejemplos.- Si consideramos que la parametrizaci´n recorre una sola vez la
o
curva gr´ficamente tenemos
a

cerrada, simple, plana

cerrada, no simple, plana

no cerrada, simple, no plana

Estasdefiniciones dependen de la parametrizaci´n utilizada.
o
Ejemplo.- Consideremos la curva Γ ≡ γ(t) = (t2 , t4 ), t ∈ [−2, 2] y analicemos
qu´ tipo de curva es.
e
Tenemos que x = t2 e y = t4 , entonces y = x2 . As´ que la curva es una par´bola,
ı
a

pero como t ∈ [−2, 2], es un arco de par´bola. Vamos a ver qu´ tramo se
a
e
corresponde con t ∈ [−2, 2]. γ(−2) = (4, 16) = γ(2) y en generalγ(t) = γ(−t),
por lo tanto el otro extremo se encuentra en el punto γ(0) = (0, 0):
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Es una parametrizaci´n que recorre dos veces la curva, pasa dos veces por el
o
mismo punto, salvo el (0, 0).
Si analizamos la parametrizaci´n obtenemos que la curva es cerrada ya que
o
γ(−2) = γ(2) y no es simple ya que a cada punto de lacurva, excepto el
(0, 0), le corresponden dos par´metros. Todos los puntos son m´ltiples excepto
a
u
el origen.
A continuaci´n introduciremos el concepto de punto singular. Seg´n como
o
u
est´ dada la curva, tenemos dos definiciones de punto singular:
e
A) Si la curva Γ est´ dada en ecuaciones param´tricas, Γ ≡ γ(t), t ∈ I:
a
e
Definici´n.- Sea t0 ∈ I se dice que P0 = γ(t0 ) es regularpara la parametrizaci´n
o
o
γ, si existe γ ′ (t) cerca de t0 y γ ′ (t0 ) = 0.
En caso contrario se dice que P0 es singular para dicha parametrizaci´n. Es
o
decir, si no existe la derivada o esta se nula.
B) Si la curva Γ est´ dada en ecuaciones impl´
a
ıcitas, Γ = {F = 0}:
Definici´n.- Un punto P0 ∈ Γ se dice regular si F es diferenciable cerca de P0
o
y el rango de JF (P0 ) es m´ximo.a
En caso contrario se dice que P0 es singular.
En R2 , Γ = {F (x, y) = 0}. P0 es regular si ∇F (P0 ) = 0.
En R3 , Γ =

F1 (x, y, z) = 0
F2 (x, y, z) = 0

. P0 es regular si rg((JF )(P0 )) = 2.

La primera definici´n depende de la parametrizaci´n elegida, es decir, puede
o
o
que haya puntos que sean singulares para una parametrizaci´n, pero no para
o
otra. La segunda definici´n nodepende de las ecuaciones impl´
o
ıcitas, por lo que
en este sentido la segunda definici´n es mejor. Los puntos que sean singulares
o
atendiendo a la segunda definici´n, tambi´n lo ser´n para la primera, pero a la
o
e
a
inversa no necesariamente.
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Ejemplo.- Vamos a clasificar los puntos de la curva correspondiente al arco depar´bola parametrizado por Γ ≡ γ(t) = (t2 , t4 ), t ∈ [−2, 2].
a
Veamos si hay puntos singulares para la parametrizaci´n.
o
′ (t) = (2t, 4t3 ) se anula en el par´metro t = 0, que se corresponde con el
γ
a
punto (0, 0). Con esta parametrizaci´n el punto (0, 0) es singular. Como ve
o
vi´ anteriormente la parametrizaci´n empieza a recorrer la curva en el punto
o
o
(4, 16), t = −2 despu´sllega al (0, 0), t = 0 y cambia de sentido para volver de
e
nuevo al punto inicial (4, 16), t = 2. El cambio de sentido marca la singularidad.
En cambio si consideramos la ecuaci´n impl´
o
ıcita y = x2 , tenemos
F (x, y) = y − x2 y su gradiente es ∂F ∂F = −2x 1 = (0, 0). Entonces
∂x
∂y
no hay puntos singulares. La curva es regular.
En el ejemplo se ve la diferencia entre los puntos...