DEBER CONJUNTO LINEAL

DEBER CONJUNTO III (PARTE 1)
ALGEBRA LINEAL

febrero de 2015

ING. ELIZABETH ASIMBAYA N.

I.

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES y PRODUCTO INTERNO

1. Sea el siguiente Sistema S1:
(7-ß)X1 - 2X2 - 4X3 = 0
3X1 - ßX2 - 2X3 = 0
6X1 - 2X2 - (3+ ß)X3 = 0

a) Hallar los valores de ß para que el sistema S1 tenga Infinitas soluciones. CS=?
b) Si ß = 2, hallar la Base y dimensión del conjuntosolución de S1.
c) La base encontrada en el literal b) completarla para obtener una base B*, para todo el ev.
Demuestre que el conjunto propuesto es base.
d) Sea S2 = {(1,2/3,0); (0,1,3);(0,2,3)} hallar la ‹ S2 ›, su Base y dimensión.
e) Con ß =2, hallar ‹ S1 › Π ‹ S2 › , ‹ S1 › + ‹ S2 › , sus bases y dimensiones.

𝒂 𝒃
) | 𝒃 = 𝒄 ; b+c = d }
𝒄 𝒅
a. Hallar w1 Π w2, Base y dimensión
b. Hallar w1 + w2,Base y dimensión
c. En la Base de W1+W2, hallar:
- Angulo entre los vectores A1 y A2
- Proyección de A2 sobre A3
- W sev ortogonal al vector A1

2. Sean W1= { (

y W2= { (

−𝟏 𝟏/𝟑
−𝟏 𝟏/𝟑
),(
) }
𝟏/𝟐
𝟏
𝟏
𝟎

3. Sean W2= { (x1,x2,x3,x4) | 𝒙𝟏 − 𝟏/𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 = 𝟎 }
1,0) }>
a. Hallar w1 Π w2, Base y dimensión
b. Hallar w1 + w2, Base y dimensión
c. En la Base de W1+W2, hallar:
- Normas de los vectores
-Unitarios de los vectores
- Angulo entre los vectores u1 y u2
- Proyección de u2 sobre u3
- W sev ortogonal al vector u4

y

W1= < { (2,-1,0,1) ; (1,-1/3,-

4. SEAN: 𝑢 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) 𝑌 𝑣 = (𝑦1 ; 𝑦2 ) 𝜖 ℜ2 . ¿PARA QUÉ VALORES DE k LA FUNCIÓN f(𝑥, 𝑦) =
𝑥1 𝑦1 − 3𝑥2 𝑦1 − 3𝑥1 𝑦2 + 𝑘𝑥2 𝑦2 ES UN PRODUCTO INTERNO SOBRE ℜ2 ?
5. SEAN: 𝑢 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) 𝑌 𝑣 = (𝑦1 ; 𝑦2 ) 𝜖 ℜ2
a. VERIFICAR SI ES UN PRODUCTOINTERNO SOBRE ℜ2 . < 𝑢, 𝑣 >= 𝑥1 𝑦1 − 2𝑥2 𝑦1 − 2𝑥1 𝑦2 +
5𝑥2 𝑦2
b. Si u1 = ( 1,1/3) y u2 = ( -2,-1/2), hallar:
- Normas de los vectores
- Unitarios de los vectores
- Angulo entre los vectores u1 y u2
- Proyección de u2 sobre u1
- W sev ortogonal al vector u2, base y dimensión de W.
6. SEA:
𝑺 = {(𝟏, −𝟏, 𝟎, 𝟐), (𝟐, 𝟎, 𝟑, −𝟏), (𝟒, 𝟎, −𝟐, 𝟏)}
a. Hallar el conjunto generado por S, Hallar la Base y dimensión de
b. Si vi = (x1, x2, x3, x4) y vj = (y1, y2, y3, y4) Є R3 , se relacionan por medio de la operación:
(vi/vj) = x1* y1 +2 x2 * y2 + 3x3* y3+ 4x4 *y4 Demuestre que esta operación es producto interno.
c.
d.

Hallar de los vectores de S:
Normas de los vectores
Unitarios de los vectores
Angulo entre los vectores u1 y u2, u2 y u3, u1 y u3
Proyección de u1 sobre u2, u1 sobre u3, u3 sobre u2
W sevortogonal al vector u2, base y dimensión de W.
A partir de la Base de completar una base B* para todo el espacio vectorial y Ortogonalice
con el Proceso de Gramm-Schmidt

7. Demuestre que la función es un producto interno:
< 𝐴, 𝐵 >= 2𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏12 + 𝑎21 𝑏21 +2𝑎22 𝑏22

𝑎) 𝐴 = [

0
−2/3
−1
3
],𝐵 = [
]
2 −2/3
1/2
1

1
𝑏) 𝐴 = [
2

0
1
−1
],𝐵 = [
]
−2/3 0
1

a. Calcule el producto interno de A yB, la distancia entre A y B, la desigualdad de Cauchy –
Schwartz.
b. Demuestre la Desigualdad Triangular para normas y para Distancias entre estas dos matrices.
−𝟏 𝟐
𝟎 𝟏/𝟐
c. Hallar el conjunto cápsula de 𝑺 = {(
),(
)} su base y dimensión.
𝟏/𝟐 𝟏
𝟏
𝟎

d. A partir de este conjunto Base de S del literal c. complete una Base B1 para todo el espacio
vectorial, y ortonormalice con el Proceso deGramm-Schmidt obteniendo B1 ortonormal.

8. Sean:
Las funciones dadas f(x)=x y g(x)=sen2x, continuas en el intervalo [−𝜋, 𝜋] y el producto interno


definido a continuación: f , g 

 f ( x) g ( x)dx :



a. Calcule el producto interno de f y g
b. La proyección ortogonal de f sobre g.
c. Angulo entre las dos funciones
d. Vectores unitarios de las dos funciones

9. Determine una base ortonormal para elconjunto solución del sistema homogéneo:
𝑎𝑜 + 𝑎1 − 3𝑎2 − 2𝑎3 = 0
S1: {
2𝑎0 − 𝑎1 − 𝑎3 = 0
3𝑎𝑜 + 𝑎1 − 5𝑎2 − 4𝑎3 = 0
1

10. Utilice el producto interior < 𝑝, 𝑞 >= ∫−1 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 y el proceso de Gramm-Schmidt para
transformar la base proporcionada en una base ortonormal.
𝐵 = {𝑥 2 − 𝑥 + 2, 𝑥 2 + 1,1 − 2𝑥 2 }

11. Dadas las funciones, Calcule su producto interno, determine si los vectores son...

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