Deerivacion

Cap´ıtulo 5

Derivaci´
on
5.1.
5.1.1.

Generalidades
Concepto de derivada. Derivadas laterales

Definici´
on 5.1.1. Sea f una funci´
on real definida en un intervalo abierto I y sea a un punto de I.
Diremos que f es derivable en a si existe (en R) el l´ımite del ‘cociente de incrementos’ o ‘cociente
de diferencias’
f (x) − f (a)
l´ım
.
x→a
x−a
Cuando f es derivable en a, el valor del l´ımiteanterior recibe el nombre de derivada de f en
a, y suele denotarse por f (a); es decir,
f (x) − f (a)
x→a
x−a

f (a) := l´ım
si tal l´ımite existe y es finito.
Tambi´en se usan otras notaciones:

d
df
f (a),
dx
dx

, etc.
x=a

Nota. En realidad, para definir la derivada no es necesario que el dominio de la funci´on f sea
un intervalo: la definici´on anterior tiene sentido para cualquier tipo dedominio D con tal de que
el punto a, adem´as de estar en D, sea punto de acumulaci´on de D. Advi´ertase igualmente que
incluso podemos considerar l´ımites laterales, definiendo entonces de manera obvia la derivada por
la derecha y la derivada por la izquierda de una funci´on en un punto, cuando tales l´ımites laterales
del cociente de incrementos tengan sentido.
Definici´
on 5.1.2. Sea f : D ⊆ R → R unafunci´
on derivable en alg´
un punto, y sea S el subconjunto
de puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser S = D). La funci´
on derivada
de f se define haciendo corresponder a cada x ∈ S el valor de la derivada de f en el punto x.
Por razones obvias, esta funci´on suele denotarse por f , de manera que
f (y) − f (x)
∈ R.
y→x
y−x

f : x ∈ S → f (x) = l´ım

Observaci´
on. En estepunto conviene deshacer un equ´ıvoco, que surge quiz´a del manejo habitual
de las derivadas de las funciones elementales: la definici´
on de derivada en un punto es previa a la
de funci´
on derivada, y no al rev´es. Es decir, por ejemplo, que la derivada de la funci´on seno en
un punto x no es cos x porque el coseno es la funci´on derivada del seno, sino que el coseno es la
funci´on derivada delseno porque la derivada de la funci´on seno en un punto cualquiera x resulta
sen y − sen x
ser igual a cos x, es decir, que existe l´ım
y vale cos x.
y→x
y−x
67

´
CAP´ITULO 5. DERIVACION

68

5.1.2.

Interpretaci´
on geom´
etrica y f´ısica de la derivada

El cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde gr´aficamente a la pendiente de
la cuerda que une el punto (a, f (a)) con elpunto (x, f (x)), con lo que en el l´ımite tenemos que la
derivada f (a) (suponiendo que exista) corresponde a la pendiente de la tangente a la gr´afica de f
en el punto (a, f (a)).
En F´ısica, si a cada valor x de una determinada magnitud (la variable independiente) le corresponde el valor f (x) de una segunda magnitud (la variable dependiente), el cociente de incrementos
f (x) − f (a) /(x − a)corresponde a la variaci´
on media de la variable dependiente en el intervalo [a, x] de variaci´on de la variable independiente, y la derivada f (a) (suponiendo que exista)
corresponde a la variaci´
on instant´
anea de la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo, cuando la variable dependiente es el espacio tenemos los conceptos de
velocidad media y velocidadinstant´anea; cuando la variable dependiente es la velocidad, pasamos
a la acelaci´on media y la aceleraci´on instant´anea.
No es sorprendente la gran cantidad de aplicaciones que encuentra el concepto de derivada,
si se tiene en cuenta la formaci´on hist´orica de este concepto: v´eanse, por ejemplo, [Dura´n, cap.
3]; [R´ıbnikov, especialmente p´ags. 182–186]; [Hairer-Wanner, p´ags. 80 y siguientes]. Eneste u
´ltimo
libro, como motivaciones para la introducci´on de la derivada a partir de la pendiente de la tangente
se se˜
nalan:
— El c´alculo del ´angulo bajo el que se cortan dos curvas (Descartes).
— La construcci´on de telescopios (Galileo) y de relojes (Huygens, 1673).
— La b´
usqueda de m´aximos y m´ınimos de una funci´on (Fermat, 1638).
— El estudio de la velocidad y aceleraci´on de un...