Definicion de integral definida

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CENTLA

TITULO: unidad 1.

AUTOR: José Ángel Hernández arias.

NOMBRE DEL CURSO: calculo integral.

NOMBRE DEL PROFESOR: Ing. Alicia pastrana pacho

FECHA: 21/02/2011.

PERIODO: 2010-2015

DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma:
dydx= f(x)
Es conveniente escribirla en la forma diferencialequivalente
dy= f(x) dx.
La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denominan antiderivacion (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral . La solución general se denota mediante :
y=f(x)dx=f (x) + c
La expresión fxdx se lee como la antiderivada o primitiva de f con respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar ax como variable de integración . El termino integral indefinida es sinónimo de antiderivada
La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo F’(x) por f (x) en la definición de integración indefinida para obtener :
F'Xdx=Fx+c
Además, si fxdx=Fx+c entonces.
ddx fxdx =f(x)
Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente formulas de integración apartir de formulas de derivación .
Aplicación de las reglas básicas de integración
Describir las anti derivadas o primitivas de 3x
Solución: 3xdx=3xdx regla del múltiplo constante
=3x1 dx rescribir x como x1
=3(x22) + C regla de potencia (n=1).
=32x2 + C simplificar.

De tal manera, las anti derivadas o primitivas de 3x son la forma 32x2 +C, donde C es cualquierconstante.
Cuando se evalua integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constante de integración. En el caso del ejemplo 1 se podría haber escrito:
3x dx=3x dx=3(x22+C)=32x2+3C.
Sin embargo, como C representa cualquier constante es tanto problemático como innecesario escribir 3C como la constante de integración. De tal modo32x2+3C se escribe en la forma mas simple 32x2+C.
En el ejemplo 1,advertir que el patrón general de integración es similar al de la derivación.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

De las reglas de derivación del producto de una constante por una función, de una
suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las siguientes propiedades de
la integral indefinida:

1ª.- Laintegral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.
∫c ⋅f (x) dx = c ⋅∫ f (x)dx
Ejemplo: ∫5cos x dx = 5⋅∫cos x dx = 5 sen x + c

2ª.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones sumando.
∫[ƒ(x) + g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx + ∫g(x) dx
Ejemplo: ∫(sen x + cos x) dx = ∫sen x dx + ∫cos x dx= − cos x + sen x +C

3ª.- la integral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las
integrales de las funciones minuendo y sustraendo.
∫[ƒ(x) - g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx - ∫g(x) dx

4ª.- Como consecuencia de las dos propiedades anteriores:
La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica
de las integrales de todas y cada una de las funcionessumandos.
Ejemplo: ∫(x − x + )dx = ∫x dx − ∫x dx + ∫dx = x − x + x + c

CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS.

Ya hemos visto cómo efectuar el cálculo de integrales indefinidas. Pero planteamos
algunos ejemplos del calculo de una integral indefinida dependientes de parámetros, que en
algunas ocasiones DERIVE no es capaz de resolver de forma automática.
EJEMPLO 6.2.
Calcular la siguiente integralindefinida

∫+dx x x n 1 2 (arctg)
Solución:
En este caso el parámetro es el valor n.
Para resolver la integral bastará que editemos la expresión
“(atan x)^n/(1+x^2)” y aplicamos sobre la misma Cálculo-Integrar, marcando la opción Integral-Indefinida

n

y al simplificar resulta (señalando como constante 0)

Recuérdese que este resultado nos da una de las...