DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL 
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillodeterminar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
ii)               Si x € H, entonces αx € H para todoescalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen porhipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y  están en H y α es un escalar.
 
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
 
1). El vectorcero de V está en H.2
 
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   
      H, la suma u + v está en H.
 
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
     u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H

BASES Y DIMENSIÓN
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
generador de dicho espacio osubespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
1. La basecanónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresar
como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . .,1)
2. Otra base de ℜ 3
distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ 3
porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como
combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan
(a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2,-3)
Se obtiene un sistema:
α + β= a
β +2γ =b
-3γ = c
en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.
3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3
no forman base porque no son linealmente independientes
(su determinante es nulo).
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 21
4. Base de un subespacio. En ℜ 3
, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que
los vectores (3,2,0) ,(1,–1,0) forman una base de S.
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo
podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:
β(a,b,0)= α (3,2,0)+ β (1,–1,0) Æ 3α + β = a
S. C. D. para cualesquiera a,b. 2α – β = b
5. Extender un conjunto...