Deflexiones

Deflexión de una viga
Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta flexión y ( x ) está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea ytiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría (Ver figura).

Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría como se ve en la figura,

sufre una distorsión y la curva que une loscentroides de las secciones transversales se llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la flexión ( o flecha) y ( x ) m medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M ( x ) en un punto x a lolargo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w( x ) mediante la ecuación
d 2M = w( x ) (1) dx 2 Además, el momento flexionante M ( x ) es proporcional a la curvatura, κ , de la curva elástica M (x ) = E I κ (2)

donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta ,respecto de un eje llamado eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión.

Según el cálculo diferencial, la curvatura es κ =

y ′′
3 2 2

2 pequeña, la pendiente transforma en M = EIy ′′ . La segunda derivada de esta ecuación es

[1 + ( y ′) ] y ′ = 0 , de modo que [ + ( y ′) ] ≈ 1 . Si κ = y ′′ , la ecuación (2) se 1
3 2

. Cuando la flexión y ( x ) es

d2y d4y d 2M = EI 2 y′′ = EI 4 dx 2 dx dx Aplicamos el resultado de la ecuación (1) para reemplazar d4y = w( x ) dx 4

(3)

d 2M en la (3) y vemos que la dx 2 flexión y ( x ) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden EI (4)

Las condiciones en la frontera asociada a esta ecuación dependen de la forma en que están sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantilíver) está empotrada enun extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el ala de un avión y una marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los árboles, las astas de banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la flexión y ( x ) debesatisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x = 0 : y (0 ) = 0 porque no hay flexión en ese lugar y ′(0) = 0 porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de flexión es cero en ese punto).
Cuando x = L las condiciones del extremo libre son: y ′′(L ) = 0 porque el momento flexionante es cero y ′′′(L ) = 0 porque la fuerzacortante es cero. d3y dM La función F ( x ) = = EI 3 se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está dx dx simplemente apoyado (a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado), se debe cumplir que y = 0 y y ′′ = 0 en ese extremo. La siguiente tabla es un resumen de las condiciones en la frontera asociada con la ecuación (4).

Extremos de la viga Empotrado LibreSimplemente apoyado

Condiciones en la frontera y = 0 , y′ = 0 y ′′ = 0 , y ′′′ = 0 y = 0 , y ′′ = 0

Ejemplo: Viga empotrada
Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determina la flexión de esa viga si sostiene una carga constante., w0 , uniformemente distribuida en su longitud; esto es, w( x ) = w0 , 0 < x < L .

Solución Según lo que acabamos de plantear, la flexión y (x )...