Deformaciones Unitarias

5.3.2. DEFINICIONES.

i) INVARIANTE: cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de referencia.

Invariante
Las coordenadas del centro (C) cambian si se consideran otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas del centro C no son invariantes.








ii) La suma (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Esfuerzos:

La suma (traza de la matriz ) se denomina PrimerInvariante de Deformaciones Unitarias.
Entre y se verifica la relación

(La invarianza se demostrará al estudiar la Transformación General de Esfuerzos).

iii) El invariante es numéricamente igual al cambio Unitario de Volumen.
; siendo V0 el volumen inicial.
Por consiguiente el variante θ1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen.

iv) Un estado de esfuerzos definido por la matriz

sellama ESTADO HIDROSTÁTICO DE ESFUERZOS.

(Estado volumétrico ó Estado de comprensión triaxial). Recuerda al principio de Pascal: La presión hidrostática es la misma en todas las direcciones.

Si el material es elástico, lineal e isotrópico, tenemos:

, es decir , siendo el denominado MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD DEL MATERIAL. (MÓDULO VOLUMÉTRICO, Bulks). K: representa un valor de esfuerzo decompresión necesario para producir una deformación volumétrica igual a la unidad (K es el valor de –p para generar θ1 = 1).

5.4. ESFUERZOS SOBRE PLANOS DE ORIENTACIÓN ARBITRARIA. TRANSFORMACIÓN GENERAL DE ESFUERZOS.

5.4.1 ESFUERZOS SOBRE PLANOS DE ORIENTACIÓN ARBITRARIA.

Consideremos un prisma elemental, sometido al estado general de esfuerzos definido por la matriz .

Pueden ser definidos losvectores siguientes:

Vector esfuerzo sobre la cara X positiva.
Vector esfuerzo sobre la cara Y positiva.
Vector esfuerzo sobre la cara Z positiva.

De manera equivalente, en función de los valores unitarios


En general , , , son vectores no paralelos a los vectores unitarios respectivamente.


Consideremos, ahora, el vector esfuerzo sobre un plano inclinado ABC que pasa por un punto P del sólido.

NVector Unitario Normal al plano ABC
.
Ecuación cartesiana del plano .
Cosenos directores de la normal al plano l2 + m2 + n2 = 1


Sobre el plano ABC, para el equilibrio, se desarrollará un VECTOR ESFUERZO.
Vector esfuerzo sobre el plano inclinado ABC. Generalmente no es normal al plano ABC.

El vector esfuerzo puede expresarse en función de sus componentes cartesianas rectangulares.



Debemosencontrar las componentes en función de los elementos de la matriz y de los cosenos directores l, m, n, de la normal al plano inclinado ABC.

La suma vectorial de las fuerzas actuantes sobre el tetraedro OABC nos permite escribir:



(Vector esfuerzo en el punto P).

Reemplazando las expresiones (1) y (2) en (3), tenemos:



Simplificando y recordando las condiciones para igualad de vectores,obtenemos:



Las ecuaciones (4) definen las Componentes Cartesianas Rectangulares del Vector de Esfuerzos , en función de las componentes del Vector Normal Unitario y de los elementos de la Matriz de Esfuerzo .

Matricialmente, las ecuaciones (4) se expresan:




Vector columna de los cosenos directores de la normal al plano inclinado ABC.
Definición:

El esfuerzo normal en un plano que pasa porP, es la Proyección Ortogonal del Vector sobre el Vector Normal Unitario.

Normal en el plano ABC.
Cortante en el plano ABC (en la dirección S).
(Dirección S normal con ).

La magnitud del esfuerzo Normal, es:

En términos de componentes rectangulares, tenemos:



Reemplazamos ,, por sus valores dados en las ecuación (4) y simplificando, tenemos:



La magnitud del esfuerzo cortante,, endirección S, es:



Notas:

1. Vector Gradiente

Sea un punto sobre la gráfica de
El vector unitario normal, es:

Siendo el vector gradiente:
, evaluando en el punto .





2. Recordando las operaciones del álgebra matricial, el esfuerzo normal sobre el plano inclinado ABC (ec.5) puede escribirse:


Siendo el vector columna de cosenos directores de la normal al plano inclinado ABC.








5.5....