Delta Dirac

Matemáticas V

Unidad III
TRANSFORMADAS DE LAPLACE

3. 12 Función Delta de Dirac

*Problemario*

Imagen. Ejercicio 1

1

1

Stephen L. Campbell, Richard Haberman. Introduccion a las ecuaciones diferenciales como problemas de
valor de frontera. Pág. 288

Ejercicio 1:
Función de forzamiento impulsiva
(

Resuelva

)

( )

Solución:
Tomando la transformada de Laplaceen ambos lados se tiene:
( )

( )

( )

Despejando Y(s),
( )

De manera que:
( )

0

1

0

1

(

)

(

) (1)

Físicamente, este ejercicio se puede ver como el circuito RC lineal simple de la figura
3.12.1, donde y es la carga en el capacitor del tiempo, y existe una carga inicial de 1 en el
capacitor. Para
, el voltaje e es cero, y el capacitor se esta descargando.En el
tiempo t=1, hay un impulso de voltaje, es decir se aplica un voltaje muy alto durante un
periodo breve, lo que recarga el capacitor. Después el voltaje es 0 otra vez y el capacitor
continúa descargándose.
La grafica de (1) se puede ver en la figura 3.12.2. Esta grafica debe interpretarse como
que, en una problema real, y(t) estaría dada por una función como la de la figura 3.12.3.Fig. 3.12.1

Fig. 3.12.2
Gráfica de (1)

Fig. 3.12.3

Imagen. Ejercicio 2
2

2

R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores de
frontera .Pág. 433

Ejercicio 2:
Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo, a un metro por bajo de la posición
de equilibrio para el sistema masa-resorte y comienza a vibrar. Despuésde π segundos, la
masa es golpeada por un martillo que ejerce un impulso sobre la masa. El sistema queda
descrito por el problema simbólico con valores iniciales.
(

)

( )

( )

(I)

Donde x(t) denota el desplazamiento con respecto del equilibrio en el instante t.
Determinar x(t).

Solución:
Sea ( )

* +( ) Como
*

+( )

( )

* (

)+( )

Al calcular la transformadade Laplace de ambos lados de (I) y despejar X(s) tenemos:
( )

( )

( )
*

+( )

*

+(s)

Usamos la propiedad de translación para determinar la transformada inversa de Laplace
de X(s)

Translación en t.
Teorema: Suponga que 𝐹(𝑠)

*𝑓+(𝑠) existe para 𝑠 > 𝛼 ≥

Si α es una

constante positiva, entonces:
*𝑓(𝑡

𝑎)𝑢 (𝑡

𝑎)+(𝑠)

𝑒

𝑎𝑠

𝐹(𝑠),

Recíprocamente, unatransformada inversa de Laplace de 𝑒
por:
*𝑒

𝑎𝑠

𝐹(𝑠)+(𝑡)

𝑓(𝑡

𝑎)𝑢 (𝑡

𝑎)

𝑎𝑠

𝐹(𝑠) esta dada

Así tenemos que:
( )

,

(

)- (

)

2

{

√

.

/

>

La grafica de x(t) aparece en color en la figura 3.12.4. Como comparación, la curva
punteada exhibe el desplazamiento de un resorte vibrante sin perturbaciones. Observe
que el impulso suma 3 unidades almomento en el instante t=π.

Desplazamiento de un resorte vibrante golpeado por un martillo t=π
Grafica 3.12.4

Imagen. Ejercicio 3.
3

3

Daniel A. Marcus. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 448

Ejercicio 3:
Suponga que tratamos de resolver:

Con condiciones iniciales
. Supongamos que buscamos una solución
continua. Tomando transformadas de Laplace con , como es usual, obtenemos

()

[

]

Para esta inversa necesitamos el segundo teorema de translación.

Segundo teorema de translación
Sea f(t) una función que tiene una transformada de Laplace y sea α u a
positiva. Entonces

Forma 1:

,𝑓(𝑡)𝑢 𝑎 (𝑡)-

Forma 2:

,𝑓(𝑡

𝑒

𝑎𝑠

𝑎)𝑢 𝑎 (𝑡)-

,𝑓(𝑡
𝑒

𝑎𝑠

𝑎)-,
,𝑓(𝑡)-,

Se establece el resultado que es:
(

)

( )

La grafica de esta soluciónse muestra en la figura 3.12.5

Fig. 3.12.5

ta te

Imagen. Ejercicio 4.
4

4

Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Pág. 351

Ejercicio 4:
(

Resuelva
a)
b)

( )
( )

) sujeta a

( )
( )

Estos dos problemas de valor inicial podrían servir de modelos para describir el
movimiento de una masa en un resorte en un medio en que el...