Derecho

SISTEMAS DE ECUACIONES POLINOMIALES
Alicia Dickenstein Minicurso UMA, octubre de 1995

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Introducci´n o

Dado un sistema de ecuaciones polinomiales en varias variables p1 (x1 , . . . , xn ) = 0 p2 (x1 , . . . , xn ) = 0 . . . ps (x1 , . . . , xn ) = 0 nos proponemos contestar efectivamente, entre otras, las siguientes preguntas: • ¿El sistema tiene soluciones? • En caso afirmativo, ¿tienefinitas soluciones? • ¿C´mo “eliminar” variables para encontrar las soluciones? Es decir, ¿c´mo “triangular” o o el sistema? • ¿C´mo determinar si las soluciones satisfacen una cierta condici´n polinomial SIN necesio o dad de calcularlas? • ¿C´mo lograr que una computadora decida estas cuestiones por nosotros? ( Es decir, o buscamos soluciones algor´ ıtmicas de los problemas planteados) Veamosalgunos ejemplos de sistemas de ecuaciones polinomiales: 1) Un sistema de ecuaciones lineales es un caso particular de sistema polinomial, en el que todos los polinomios involucrados tienen grado 1. Para estos sistemas, el ´lgebra lineal da a respuestas “sencillas” a todas las preguntas anteriores. 2) Sean A, B, C, D, E, F puntos en el plano. Las siguientes afirmaciones geom´tricas pueden e serexpresadas como la anulaci´n de una o m´s ecuaciones polinomiales: o a i) El segmento AB es paralelo al segmento CD. ii) El segmento AB es perpendicular al segmento CD. iii) A, B, C son colineales.

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iv) La distancia AB de A a B es igual a la distancia CD de C a D. v) C cae en la circunferencia con centro A y radio AB. vi) C es el punto medio de AB. vii) El ´ngulo agudo < ABC es igual al ´nguloagudo < DEF . a a viii) BD bisecta el ´ngulo < ABC a ix) El teorema del c´ ırculo de Apolonio: Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo en el plano, con a a a ´ngulo recto en A. Los puntos medios de los tres lados y el pie de la altura dibujada desde A hasta BC pertenecen a una misma circunferencia. Ejercicio: Verificarlo. Referencia: [C-L-O], cap´ ıtulo 6, par´grafo 4. a 3) Supongamos que buscamos los puntoscr´ ıticos de una funci´n polinomial f de tres variables o x, y, z restringida a la c´scara de la esfera S de radio r. Entonces, S coincide con el conjunto a de ceros del polinomio g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − r2 , y por el m´todo de multiplicadores e de Lagrange, la respuesta a nuestro problema son aquellos puntos P = (x, y, z) en S para los cuales el gradiente de f en P es un m´ltiplo delgradiente de g en P . Es decir que u buscamos los puntos P para los cuales existe un valor de λ de tal modo que se satisface el siguiente sistema de ecuaciones polinomiales: g(x, y, z)
∂f ∂x (x, y, z) ∂f ∂y (x, y, z) ∂f ∂z (x, y, z)

= 0 ∂g = λ ∂x (x, y, z) ∂g = λ ∂y (x, y, z) = λ ∂g (x, y, z) ∂z

Lo que nos interesa hacer es “eliminar” la variable λ, cuyo valor no nos importa, y calcular losvalores de x, y, z. 4) Decidir si un polinomio p en una variable tiene ra´ m´ltiples corresponde a decidir si el ıces u sistema: p(x) = p (x) = 0 tiene o no soluci´n. o 5) Consideremos un brazo de robot que se mueve en un plano consistente de dos barras de longitudes 1 y 2 , con uno de los extremos de la primer barra fijo a un punto que consideramos el origen, con posibilidad de girar en cualquierdirecci´n, y la segunda barra o unida al extremo de la primera, tambi´n con posibilidad de girar en cualquier direcci´n. e o Si denotamos por (u, v) las coordenadas del extremo de la primer barra, y con (x, y) las coordenadas del extremo del brazo del robot (es decir del extremo libre de la segunda barra), el llamado espacio de configuraciones del robot es el conjunto de 4-uplas (u, v, x, y) queverifican el sistema polinomial: u2 + v 2 − 2 1 (x − u)2 + (y − v)2 −
2 2

= 0 = 0

2

6) La flor de cuatro p´talos dada en coordenadas polares del plano por la ecuaci´n e o r = |sen(2θ)| (uni´n el origen) puede describirse como el conjunto de ceros de un polinomio en dos o variables. Ejercicio: Verificarlo. 7) Supongamos dado el polinomio p(x) = x6 − 7 x5 − 6 x4 + 77 x3 + 51 x2 − 160 x − 100 ,...