Derivacion

Tema 3 Campos escalares y vectoriales derivables. Reglas de derivaci´n. o
El estudio de la derivada de Fr´chet para campos vectoriales requiere estar familiae rizado con el espacio de Banach L(RN , RM ) de los campos vectoriales lineales de RN en RM . Empezamos estableciendo el isomorfismo que existe entre este espacio vectorial y el las matrices MM ×N (R). Dicho isomorfismo hace corresponder a lacomposici´n de o campos el producto de las correspondientes matrices. Es claro que el unico campo vectorial lineal acotado es el nulo y que dos campos vec´ a toriales lineales que toman los mismos valores en la esfera unidad coinciden (!H´gase!). N M A cada T ∈ L(R , R ) le asignamos el n´mero real u T := max{ T (x) : x = 1}. Probamos que tal aplicaci´n es una norma en L(RN , RM ), y que para T ∈L(RN , RM ) o se tiene T (x) ≤ T x , ∀x ∈ RN con lo que todo campo vectorial lineal es lipschitziano y T es la constante de Lipschitz de T (v´ase Definici´n 3.2). e o Estudiamos tambi´n los isomorfismos topol´gicos en RN e o Iso (RN ) = {T ∈ L(RN ) : det AT = 0} que ser´n esenciales a la hora de establecer el Teorema de la funci´n inversa. Probamos a o que Iso (RN ) es un abierto de L(RN ) y que laaplicaci´n inversi´n J : Iso (RN ) → L(RN ) o o dada por J(T ) := T −1 , ∀T ∈ Iso (RN ) es continua. La manera natural de extender a campos vectoriales el concepto de funci´n derivable o es el concepto de derivada en el sentido de Fr´chet: Un campo vectorial f definido en e 85

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en cuyo caso la aplicaci´n T es unica, se denomina la derivadade la funci´n f en el o ´ o punto a y se nota por Df (a). Los conceptos de derivabilidad y derivada son algebraicotopol´gicos (no dependen de las normas elegidas en RN y RM ). o

A ⊂ RN y con valores en RM es derivable en un punto a interior si existe T ∈ L(RN , RM ) verificando f (x) − f (a) − T (x − a) lim =0 x→a x−a

Acosta, Aparicio, Moreno y Villena

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3.1.

El espacio de BanachL(RN , RM ).

En lo sucesivo, para cada dos naturales N y M , L(RN , RM ) denotar´ el espacio a vectorial de los campos vectoriales lineales de RN en RM , es decir, el conjunto de las aplicaciones T : RN → RM tales que T (x + y) = T (x) + T (y), T (λx) = λT (x), ∀x, y ∈ RN , ∀λ ∈ R,

con las operaciones usuales de suma y producto por escalares. En el caso de que N = M escribiremos simplementeL(RN ) en lugar de L(RN , RN ). Conviene dejar sentado desde el primer momento que el espacio vectorial L(RN , RM ) y el espacio vectorial MM ×N (R) de las matrices M × N de n´meros reales son u N M matem´ticamente indistinguibles. Para cada T ∈ L(R , R ) definimos AT ∈ MM ×N (R) a por (3.1.1) AT := Ti (ej )
1≤i≤M 1≤j ≤N

,

donde T1 , . . . , TM son los campos escalares componentes de T y {e1, . . . , eN } es la base can´nica de RN . La aplicaci´n de L(RN , RM ) en MM ×N (R) definida por T → AT o o N es un isomorfismo de L(R , RM ) sobre MM ×N (R), cuyo inverso es la aplicaci´n de o o MM ×N (R) sobre L(RN , RM ) definida por A → TA donde TA es la aplicaci´n lineal de RN en RM dada por (3.1.2) TA (x)
t

:= Axt , ∀x ∈ RN .

En particular, si T ∈ L(RN , R), entonces AT ∈ RN y si A ∈ RN, entonces la correspondiente aplicaci´n TA act´a de la forma siguiente o u (3.1.3) TA (x) = (A|x), ∀x ∈ RN ,

donde hemos notado por (·|·) el producto escalar en RN . Adem´s esta identificaci´n de L(RN , RM ) con MM ×N (R) tiene la importante sia o guiente propiedad. Si T ∈ L(RN , RM ) y S ∈ L(RM , RP ), entonces (3.1.4) A(ST ) = AS AT ,

En efecto, si x ∈ RN se tiene que

donde, como esusual, notamos por yuxtaposici´n la composici´n de los operadores S o o y T , es decir (ST )(x) = S(T (x)), ∀x ∈ RN . (AS AT )xt = AS (AT xt ) = AS T (x)
t

= (S(T (x)))t = ((ST )(x))t = A(ST ) xt .

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3. Campos derivables. reglas de derivaci´n. o

Sabemos que un campo vectorial es continuo si, y s´lo si, lo son sus campos escalares o componentes. En el caso particular de campos...