Derivacion

MÉTODOS ESPECIALES de DERIVACIÓN

1) Composición de funciones
x
f
f(x)
g
g(f(x))
Figura #2
x
f(x)
g(f(x))
f
g
g x
Figura #1
Muchas funciones seconstruyen a partir de otras funciones, por lo general más sencillas, mediante un proceso conocido como composición de funciones. Este proceso es una operación entre funciones que consiste en aplicar,sucesivamente, dos funciones en un orden determinado con lo cual se obtiene una tercera función. Dadas dos funciones que representaremos por f y g la notación (g f) o g(f(x)) se lee “f compuesta con g” o“f seguida de g”. Veámoslo gráficamente.



Ejemplo: Sea f y g dos funciones definidas mediante las siguientes reglas de correspondencia f(x) = x2 – 1 y g(x) = . Al evaluar la función g en el puntof(x), se obtiene g(f(x)) = = . En general, la composición de una función g con una función f se define como la función h cuyo valor se determina evaluando la función g en el punto f(x); es decir:h(x) = g(f(x)).
COMENTARIO: Si observas en las figuras 1 y 2, el orden de las funciones es primero f y luego g, no obstante en el momento es expresar la función compuesta este orden se invierte, esdecir g(f(x)) o de otra forma gf. Se entiende que hay una inversión en la notación pero así es correcto denotarlo.

2) Regla de la cadena
La regla de la cadena de una sola variable expresa laderivada de una función compuesta g(f(x)) en términos de las derivadas f y g. Al utilizar la regla de la cadena con las fórmulas de derivación inmediata, nos permite extender en gran medida, la clase defunciones que se pueden derivar.
Si h(x) = g(f(x)), entonces:
h’(x) = g(f(x) = g’(f(x)) f’(x)
En forma equivalente, si se escribe y = h(x) = g(u), donde u = f(x), entonces la ecuación típica de laregla de la cadena quedará expresada como sigue.


La regla de la cadena se aplica en casos donde se tienen función de funciones, por ejemplo las que se derivan por las siguientes ecuaciones:...