derivacion

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE
VARIABLE REAL

Definici´
on. Sea f :]a, b[−→ R y x0 ∈]a, b[. Se dice que f es derivable en x0 si existe
limh→0

f (x0 +h)−f (x0 )
h

y es finito. En ese caso denotaremos por f 0 (x0 ) el l´ımite anterior.

Se dice que f es derivable por la izquierda en x0 si existe limh→0−
0
finito. En ese caso denotaremos por f−
(x0 ) el l´ımite anterior.

Sedice que f es derivable por la derecha en x0 si existe limh→0+

f (x0 +h)−f (x0 )
h

y es

f (x0 +h)−f (x0 )
h

y es

0
(x0 ) el l´ımite anterior.
finito. En ese caso denotaremos por f+

As´ı, f es derivable en x0 si y s´
olo si es derivable por la derecha y por la izquierda en
0
0
x0 y f−
(x0 ) = f+
(x0 ).

Proposici´
on.

Sea f :]a, b[−→ R y x0 ∈]a, b[. Si f esderivable en x0 entonces f es

continua en x0 .
El rec´ıproco de la proposici´
on anterior no es cierto en general. Para ello, basta considerar f :] − 1, 1[−→ R, f (x) = |x| que es continua pero no derivable en x = 0.
Interpretaci´
on geom´
etrica de la derivada
Si f :]a, b[−→ R, x0 ∈]a, b[ y f es derivable en x0 entonces la derivada de f en x0
coincide con la pendiente de la recta tangente ala gr´afica de f(x) en (x0 , f(x0 )).
As´ı, la recta tangente a f(x) en x = x0 tiene por ecuaci´
on:
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
1

Juan Medina Molina

Universidad Polit´
ecnica de Cartagena

Recordemos finalmente que dos rectas son paralelas si y s´
olo si tienen la misma pendiente.
Definici´
on. Dado D ⊆ R y x0 ∈ D, se dice que x0 es un punto interior a D si existe
h > 0 talque ]x0 − h, x0 + h[⊆ D. Denotaremos por Int(D) el conjunto de los puntos
interiores de D.
Notar que si D ⊆ R entonces Int(D) ⊆ D 0 .
Si D ⊆ R y f : D −→ R, podemos definir de la misma forma que hemos definido la
derivada y las derivadas laterales en intervalos abiertos, la derivada y derivadas laterales
en puntos interiores de D.
Si x0 ∈ Int(D) entonces existe h > 0 tal que ]x0 − h, x0 +h[⊆ D. Consideremos

f˜ = f]x0 −h,x0 +h[ : D −→ R. Se dice que f es derivable en x0 si lo es f˜ y en ese caso se
define f 0 (x0 ) = f˜0 (x0 ).

Diremos que D es abierto si D = Int(D). As´ı, si f : D −→ R, podemos definir la
derivada en cualquier punto de D. Notar que R es un conjunto abierto.
Si f : D −→ R con D abierto, se dice que f es derivable si lo es en x, para todo

x ∈ D. En esecaso se define la funci´on derivada de f como f 0 : D −→ R tal que a cada

x ∈ D le hacemos corresponder f 0 (x).
Ejemplos.

1. Si f : R −→ R | f (x) = k con k ∈ R entonces f es derivable y

f 0 (x) = 0 para todo x ∈ R.

2. Si f : R −→ R | f (x) = x entonces f es derivable y f 0 (x) = 1 para todo x ∈ R.
Proposici´
on. Sean f, g :]a, b[−→ R, α ∈ R y x0 ∈]a, b[ tal que f y g son derivablesen x0 . Entonces:
i) f +g, f −g y αf (x) son derivables en x0 y (f +g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )+g 0 (x0 ), (f −g)0 (x0 ) =

f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ) y (αf )0 (x0 ) = αf 0 (x0 ).

ii) f · g es derivable en x0 y (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
iii) Si g(x0 ) 6= 0 entonces f/g es derivable en x0 y (f/g)0 (x0 ) =
2

f 0 (x0 )g(x0 )−f (x0 )g0 (x0 )
.
g(x0 )2

Juan MedinaMolina

Universidad Polit´
ecnica de Cartagena

Teorema. (Regla de la cadena). Sea f :]a, b[−→ R y g :]c, d[−→ R tal que
f (]a, b[) ⊆]c, d[ y sea x0 ∈]a, b[. Si f es derivable en x0 y g es derivable f (x0 ) entonces

(g ◦ f)0 (x0 ) = g 0 (f(x0 ))f 0 (x0 ).

F´
ormulas de las derivadas de las funciones elementales

Funci´
on

Derivada

y = xn
y = f(x)n
y = ef (x)
y = af (x)

y 0= nxn−1
y 0 = nf (x)n−1 f 0 (x)
y 0 = ef (x) f 0 (x)
y = af (x) f 0 (x)loga
y0 =

y = logf (x)
y0 =

y = loga f (x)
y = senf (x)
y = cosf (x)
y = tgf (x)

y0 =

f 0 (x)
cos2 f (x)

f 0 (x)
f (x)

f 0 (x)
f (x) loga e

y 0 = f 0 (x)cosf(x)
y 0 = −f 0 (x)senf(x)

= f 0 (x)(1 + tg2 f(x))

y 0 = f 0 (x)coshf(x)
y 0 = f 0 (x)senhf(x)

y = senhf (x)
y = coshf (x)...