derivada

ANÁLISIS MATEMÁTICO I


Objetivos:
 Derivada de una
función
exponencial.
 Derivadas de
Logaritmos.
 Derivadas de
funciones
trigonométricas.
 Derivadas de
orden superior
 Derivación
implícita.

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES
Definición:
eh  1
im
1
´e´ es el número tal que : L0
h
h
d
(ax ) = a x .Lna
dx
d
x
D
2. Si y = f(x) = a entonces
(a f(x) ) = a f(x).f '(x)Lna
. x (c)
dx
0
d
3. Si y = f(x) = e x entonces
(e x ) = e x
dx
d
f(x)
4. Si y = f(x) = e entonces
(e f(x) ) = e f(x) .f '(x)
dx

Prof. Isidoro Ruiz Arango

1. Si y = f(x) = a x entonces

Ejemplo (1): Sea f ( x)  23 x  34 2 x
Derivando: f '(x) = 23x (3 x)'.ln2 + 3 4-2x (4  2 x)'.ln3

= 3.ln2.23x  2.ln3.3 4-2x

=

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES
Ejemplo (2):Derivando:

f ( x)  e

3 x 2  5 x 1  6

3 x 2  5 x 1  6

.(3 x 2  5 x 1  6)'Lne

Prof. Isidoro Ruiz Arango

f '(x) = e
e

3 x 2  5 x 1  6

(6 x  5 x 2 ).1

2

 (6 x  5 x )e

3 x 2  5 x 1  6

d
1
5. Si y = f(x) = Loga x entonces
(Loga x) =
,x 0
dx
xLna
6. Si y = f(x) = Loga f ( x) entonces

d
f '(x)
(Loga f(x)) =
Dx f(x)Lna , x  0
(c) =dx

d
1
7. Si y = f(x) = Lnx entonces
(Lnx) =
dx
x

0

d
f '(x)
8. Si y = f(x) = Ln(f(x)) entonces
(Ln(f(x)) =
dx
f(x)

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES
Ejemplo (3):
Derivando:

f ( x)  Ln( x 3  1)
( x3  1)' 3 x 2
f '( x)  3
 3
x 1
x 1

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Ejemplo (4):

f ( x)  Lnx

Derivando:
f '( x)  ( Lnx )'  [( Lnx)1/ 2 ]'
1
1
1/ 2
.( Lnx) ( Lnx) ' 
2
2 x Lnx
Ejemplo (5):
f ( x)  ln x 7  log 3  log 3 ( x 2  2 x)
( x7 ) '
( x 2  2 x) '
Derivando:
f '( x) 

0

x
( x 2  2 x) Ln3
7 x6
2x  2
7
2x  2
 7  2
  2
x
( x  2 x) Ln3 x ( x  2 x) Ln3
7

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES

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Ejemplo (6):

x 1
f ( x)  Ln
x2

Derivando:
 x 1 

'
x2 
f '(x)  

x 1
x2

x  2(1)  ( x  1)( x  2) '
( x  2) 2
x 1
x2

2 x  2  ( x  1)( x  2) 1/ 2
2( x  2)


x 1
x2

x  2[2 x  2  ( x  1)( x  2) 1/ 2
D  (c)
2( x  1)( x x 2) =

[2( x  2)  ( x  1)]
x 5


2( x  1)( x  2)
2( x  1)( x  2)

0

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES
x 1
f ( x)  Ln
x2
Por propiedad de logaritmos:
f '( x)  Ln( x 1)  Ln( x  2)
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Otra forma:

1
( x  2) '
1
( x  2) 1/ 2




x 1
x 1
x2
2 x2
1
1
x 5



x  1 2( x  2) 2( x  1)( x  2)

Notas:

1) ln x  n ln x
n

2) ln( x. y )  ln x  ln y
x
3) ln    ln x  ln y
 y

ln a
Dx (c) =
4) log b a 
0 ln b
5) log e x  ln x

6) ln e x  x

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALESImportante:

d
1
(Ln x ) =
dx
x

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DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
d
1. Si y = f(x) = senx entonces
(senx) = cosx
dx
d
2. Si y = f(x) = cosx entonces
(cosx) = -senx
dx
d
3. Si y = f(x) = tgx entonces
(tgx) = sec 2 x
dx
d
4. Si y = f(x) = ctgx entonces
(ctgx) = -csc 2 x
dx
d
5. Si y = f(x) = secx entonces
(secx) = secx.tgx
dx
d6. Si y = f(x) = cscx entonces
(cscx) = -cscx.ctgx
dx

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES
Ejemplo (1):
Solución:

Derive f ( x) 

sec x
1  tgx

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(1  tgx)(sec x) ' sec x(1  tgx) ' (1  tgx)(sec x.tgx)  sec x.sec 2 x
f '( x) 

2
(1  tgx)
(1  tgx) 2
sec x(tgx  tg 2 x  sec 2 x) sec x(tgx  tg 2 x  1  sec 2 x  1)


2
(1  tgx)
(1  tgx)2
sec x(tgx  1)

(1  tgx) 2

Ejemplo (2):
Solución:

tgx 2  5
Derive f ( x) 
cos 2 x
(tgx 2  5) '.cos 2 x  (tgx 2  5).(cos 2 x) '
f '( x) 
(cos 2 x) 2

sec 2 x 2 ( x 2 ) '.cos 2 x  (tgx 2  5).2 cos x.(cos x) '

cos 4 x

REGLAS DE DERIVACIÓN ESPECIALES
2x
2x
.cos 2 x  (tgx 2  5).2 cos x.( senx)
.cos 2 x  (tgx 2  5).sen2 x
cos 2 x 2
cos 2 x 2


4...