derivada


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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. INTEGRACIÓN DEFINIDA.
 
2.1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
 
El teorema fundamental del cálculo - cuya expresión matemática se presenta mas adelante - será utilizado aquí como una herramienta que debe emplearse, al momento de querer resolver una integral que posea límites,las cuales se conocen como integrales definidas o de Riemann, por ser éste matemático, uno de los precursores de este tipo de integral.
 
El enunciado del mencionado teorema, establece lo siguiente: Sea f una función continua en [a,b]; entonces:

2.2.- INTEGRACIÓN DEFINIDA.
        La integración definida, utiliza el teorema fundamental del cálculo, para resolver integrales de la forma:        Donde: a = Límite inferior y b = Límite superior.
 
A diferencia de la integración indefinida, en la integración definida se obtiene un resultado numérico, que se obtiene al integrar la expresión dada, evaluar los límites y hacer la sumatoria de los resultados obtenidos luego de la evaluación.
En integración definida se plantean integrales que - por lo general – se resuelven aplicandolos métodos ya expuestos. Por esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado - responsablemente - los cinco métodos anteriores, puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación detallada de esos contenidos.
A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es mostrarle al lector, como se debe desarrollar el proceso de integracióndefinida y como se usa el famoso teorema fundamental del cálculo.

Ejemplo 1
     Resolver la siguiente integral:


 
Solución
Método a emplear: Integración Definida.
Regla de integración: Teorema fundamental del cálculo(TFD)
     Desarrollo:
 
 
    Aplicando propiedades de la potenciación, se tiene que:
      (1)
    Integrando (1), y aplicando el TDF, se obtiene:

    Por lotanto, la respuesta final, viene dada por:

 




 
 
Ejemplo 2
     Resolver la siguiente integral:

 
Solución
Método a emplear: Integración Definida.
Regla de integración: Teorema fundamental del cálculo(TFD)
     Desarrollo:
 
 
    Aplicando propiedades de los O.L., se tiene que:
 
      (1)
 
    Integrando (1), se puede escribir que:
  
 
    Ahora, se aplica deteorema fundamental del cálculo, obteniéndose:

    Por lo tanto, la respuesta final, viene dada por:


 LA INTEGRAL DEFINIDA VISTA COMO UN ÁREA. CÁLCULO DE ÁREAS.
        El área generada bajo una curva continua, en un intervalo cerrado [a,b], se puede calcular haciendo uso de la integral definida.
        Una vez más, el teorema fundamental del cálculo, aparece como herramienta de gran ayudaal momento de calcular las mencionadas áreas.
        Es importante señalar, que para tener éxito al momento de enfrentar ejercicios de este tipo, se requiere de la construcción -por lo menos aproximada - de los esbozos de las gráficas, de las funciones involucradas en una situación problemática particular.
        Como se va a trabajar con integración definida, se requiere que las integrales aresolver, posean límites de integración y es labor del lector analizar con detenimiento como se determinan dichos límites. Generalmente, los citados límites, vienen representados por las asintotas y/o intersecciones que presentan las gráficas construidas previamente.
        Para efectos de la construcción de las gráficas, es necesario que el lector recuerde el conjunto de pasos, vistos encursos anteriores, para tal fin. Entre ellos están: Corte con los ejes y entre curvas, asintotas, puntos críticos y de inflexión, concavidades, etc.
A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es mostrarle al lector, como se debe desarrollar el proceso de cálculo de áreas.
 
Ejemplo 1
Hallar el área de la región   , ubicado en el primer cuadrante que se encuentra bajo...