DERIVADA

HISTORIA DEL CÁLCULO
Las principales ideas que sustentan el cálculo se desarrollaron durante un largo período de tiempo. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos.
Para los números griegos los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en el mismo. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de que paralos griegos, no todas las longitudes eran números.
Arquímedes , alrededor de 225 a.C., hizo una de las más significativas contribuciones griegas. Su primer avance importante era mostrar que el área de un segmento de una parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y el vértice y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulosempezando por una de las zonas A y continuamente añadiendo más triángulos entre los ya existentes y la parábola para obtener áreas
A, A + A / 4, A + A / 4 + A / 16, A + A / 4 + A / 16 + A / 64, ...
Por consiguiente, el área del segmento de la parábola es
(1 + 1/4 + 1/4 2 + 1/4 3 + ....) = (4/3)
Este es el primer ejemplo conocido de la suma de una serie infinita.
Arquímedes utiliza elmétodo de agotamiento para encontrar una aproximación a la zona de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.
Entre otras 'integraciones' de Arquímedes fuera el volumen y área de superficie de una esfera, el volumen y el área de un cono, el área de superficie de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide derevolución y un segmento de un hiperboloide de revolución .
No se hizo más progresos hasta el siglo XVI cuando los mecánicos comenzaron a conducir a los matemáticos para examinar problemas como centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parábolas en Roma (1606), que siguió los métodos griegos para atacar este tipo de los problemas de la zona. Kepler , en su obra sobre elmovimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en áreas como sumas de líneas, otra forma cruda de la integración.
Tres matemáticos que hicieron importantes, eran Fermat , Roberval y Cavalieri . Cavalieri pensó en un área como siendo compuesto de componentes que eran líneas y luego resumió su número infinito de 'indivisibles'. Mostró, conel ​​uso de estos métodos, que la integral de x n de 0 a 1 era 1 / (n + 1) por que muestra el resultado para un número de valores de n y deducir el resultado general.
Roberval miró el área entre una curva y una línea que está formado por un número infinito de tiras rectangulares infinitamente estrechos. Se aplicó esto a la integral de x m de 0 a 1 que mostró valor aproximado tenido
(0 m+ 1 m + 2 m + ... + (n-1) m)/(m+1) . Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1 / (m + 1) cuando n tiende a infinito, de este modo calculó el área.
Fermat también fue más riguroso en su enfoque, pero no dio pruebas. Se generalizó la parábola y la hipérbola: -
Parábola: y / a = (x / b) 2 a (y / a) n = (x / b) m
Hipérbola: y / a = b / x para (y / a) n = (b / x) m.
En el transcurso de suexaminación de y / a = (x / b) p, Fermat calcula la suma de r p desde r = 1 hasta r = n.
Fermat investigó máximos y mínimos considerando cuando la tangente a la curva era paralela al eje x. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se utiliza hoy en día, es decir, la búsqueda de los máximos y mínimos mediante el cálculo cuando la derivada de la función de 0. Descartes produjoun importante método de determinación de las normales en La Géométrie en 1637 basado en el doble cruce. De Beaune extendió sus métodos y la aplicó a las tangentes donde doble intersección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más simple, conocido como La regla de Hudde, que básicamente consiste en la derivada. El método de Descartes y la Regla dde Hudde fueron importantes en la...