derivada

cuadrangular,
a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadrados
de sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcular lasdimensiones de la caja de mayor volumen.
Solución: La figura 11.10 muestra la idea. La
lámina entera está a la izquierda con
los dobleces que se le han de hacer
y los cuadritos en las esquinas quedeben eliminarse. A la derecha aparece
la cajita ya construida.
Sea x la longitud del cuadrito a eliminarse,
por lo tanto la longitud restante
que será realmente lo largo y
ancho de la cajita es de60 - 2x.
Antes de resolver el problema conviene
hacer una pequeña tabla para
mostrar que con diferentes valores
del cuadrito a eliminar de lado x ,
que es lo mismo que la caja, se obtienenvolúmenes diferentes. O sea, si la altura de la caja es, por ejemplo, x = 1, las
otras dimensiones son de 58 × 58 y su volumen es de V = 1× 58 × 58 = 3364
figura 11.10

Puede verse en la tabla que elvolumen va aumentando hasta cierto valor y luego comienza a
descender, lo que significa que hay algún volumen que es más grande que los demás, o sea
que es máximo. No puede afirmarse a la ligera queel volumen máximo es V = 15 884 correspondiente
a las dimensiones 11 × 38 × 38 simplemente porque ese es el que se ve en la tabla,
pues bien podría ser que antes de x = 11 y después de x = 9 se hayalogrado el máximo y
que al pasar por x = 11 ya venga en descenso. O también podría ser posible que después de
x = 11 siga creciendo el volumen y luego al descender (entre x = 11 y x = 15) se llegó aV
= 13 500 cuando x = 15, según la tabla.
Tampoco tendría validez completar la tabla con los valores de x = 10 ; x = 12 ; x = 13 y
x = 14 para analizar la tabla y sacar una conclusión, pues deentrada nada garantiza que el
máximo se obtenga para un valor entero de x, sino para un valor decimal. La única manera
certera de obtener el valor de x para el cual el volumen es máximo es aplicando...