Derivada

C´lculo 1: Gu´ derivadas
a
ıa

I. Determinar la primera y segunda derivada de:
a) y = (−x)2 + 3
b) w = (3z)−2 −
c) r =

12
Θ

+

1
z

1
Θ4

1
d) y = (x2 + 1)(x + 5 + x )

e) f (t) =

t2 −1
t2 +t−2

f) r = 2

1
√
Θ

+

√

Θ

II. Determine una ecuaci´n para la recta perpendicular a la tangente a la curva
o
y = x3 − 4x + 1 en el punto (2,1)
III. Lacurva y = ax2 + bx + c pasa por el punto (1,2) y es tangente a la recta y = x en
el or´
ıgen. Determine a,b y c.
IV. Determine a para que g(x) sea derivable

g(x) =

ax
x2 − 3x

V. Derive:
a) y = sin3 (x)
1
b) y = x3 sec 3

c) (tan(t) · t)10
d) y = sin(cos(2t − 5))
e) y = sin( 3π · t) + cos( 3π · t)
2
2
f) g(x) =

f (x)

g) y = ln( x +

√

x + 1)

1

si x < 0
si x ≥ 0VI) Determine la derivada de:
a) y = f (x)g(x)
b) y = ln f (x)
c) y = ef (x)
d) y = loga (f (x))
e) y = af (x)

Desarrollo

I. Determinar la primera y segunda derivada de:
a) y = (−x)2 + 3
y = −2x
y = −2
1
b) w = 3z −2 − z w = −6z −3 − (z −1)
−3
w = −6z + z −2
w = 18z −4 − 2z −3

c) r
r
r
r
r

1
= 12 + Θ4
Θ
−1
= 12 · Θ + Θ−4
= 12 · (Θ−1 ) + Θ−1 · 12 + (Θ−4 )
=−12Θ−2 − 4Θ−5
= 24Θ−3 + 20Θ−6

d) y
y
y
y
y

1
= (x2 + 1)(x + 5 + x )
= x3 + 5x2 + x + x + 5 + x−1
= x3 + 5x2 + 2x + 5 + x−1
= 3x2 + 10x + 2 − x−2
= 6x + 10 + 2x−3

e) f (t) =
y(t) =

t2 −1
t2 +t−2
(t+1)(t−1)
(t+2)(t−1)

y (t) =
y (t) =
y (t) =
y (t) =
y (t) =

t+1
t+2
(t+1) (t+2)−(t+2) (t+1)
(t+2)2
(t+2)−(t+1)
(t+2)2
1
(t+2)2
1
(t+2)2

y (t) = (t + 2)−2
y (t)= −2(t + 2)−3
−2
y (t) = (t+2)3

2

f) r = 2

1
√
Θ

+

√

Θ r=2 Θ

−1

−1
2

1

+ Θ2

1

r = 2 · Θ 2 + 2 · Θ2
−3
−1
r = −Θ 2 + Θ 2
−5
−3
r = 3 ·Θ 2 − 1 ·Θ 2
2
2
II. Determine una ecuaci´n para la recta perpendicular a la tangente a la curva
o
y = x3 − 4x + 1 en el punto (2,1)
Derivamos la ecuaci´n de la curva
o
y = x3 − 4x + 1
y = (x3 − 4x + 1)
y =3x2 − 4
Sabemos que la derivada de una curva corresponde a la pendiente de la tangente
(m), entonces evaluamos en el punto (2,1) para obtener el valor de la pendiente.
y = 3 · (2)2 − 4 = m
y =m=8
Ahora, sabemos que la pendiente de la perpendicular a una recta, posee una pendiente M, donde ambas cumplen que M · m = −1. Resolvemos:
M · m = −1
M = −1
8
Entonces la pendiente de la rectaperpendicular a la tangente de la curva ser´
a
M = −1 ahora con el punto dado (2,1) formamos la ecuaci´n de la recta perpendio
8
cular.
(y − y0 ) = M (x − x0 )
(y − 1) = −1 (x − 2)
8
(y − 1) = −x + 1
8
4
y = −1 x + 5
8
4
III. La curva y = ax2 + bx + c pasa por el punto (1,2) y es tangente a la recta y = x en
el or´
ıgen. Determine a,b y c.
Evaluamos la par´bola y = ax2 + bx + c en elpunto (1,2), para obtener los valores
a
de a,b y c en el punto.
2 = a · 12 + b · 1 + c
2=a+b+c
(1)
Ahora sabemos que la recta y = x es tangente a la par´bola en el punto (0,0) y
a
evaluamos obteniendo:
0 = a · 02 + b · 0 + c
c=0

3

Luego la derivada a la curva ser´ la recta tangente de pendiente m, entonces:
a
y = ax2 + bx + c
y = 2ax + b = m
Evaluada en el punto (0,0) donde estangente a la recta y = x
m = 2ax + b
m = 2a(0) + b
m=b
Entonces sabemos m es pendiente de la recta y = x, adem´s es f´cil ver que m = 1,
a
a
luego b = 1
Reemplazando en (1)
2=a+1+0
a=1
Por lo tanto a = 1, b = 1, c = 0, entonces la curva ser´ y = x2 + x
a

IV. Determine a para que g(x) sea derivable

ax
x2 − 3x

g(x) =

si x < 0
si x ≥ 0

Sabemos que, para que g(x) seaderivable, su derivada por la derecha debe ser igual
a su derivada por la izquierda, entonces:
d
dx (ax)
d
2
dx (x

= a|x=0 = a (Por la izquierda)

− 3x) = 2x − 3|x=0 = −3 (Por la derecha)

Por lo tanto, para que la derivada exista, el valor de ambas derivadas debe ser igual,
entonces:
Si a = −3, g(x) es derivable en 0.

V. Derive:
a) y = sin3 (x) = (sin(x))3
y = (x3 ) (sin(x)) ·...