Derivada

Derivada de una Funci´
on
Definici´
on 1 La derivada de una funci´on f en un punto x0 , denotada por f (x0 ), se
define como
f (x0 ) = x→x
lim

0

f (x) − f (x0 )
x − x0

Si el l´ımite existe decimosque f es diferenciable o derivable en x0 .
Si en el l´ımite anterior hacemos un cambio de variable considerando h = x − x0 obtenemos la siguiente versi´on equivalente de derivada
f (x0 + h) − f (x0)
h→0
h

f (x0 ) = lim

Podemos hablar de derivadas laterales de f en x0 .
Derivada de f por la izquierda de x0
f− (x0 ) = lim−
x→x0

f (x) − f (x0 )
x − x0

Derivada de f por la derecha de x0
f+ (x0 )= lim+
x→x0

f (x) − f (x0 )
x − x0

Una funci´on f se dice que es diferenciable en un intervalo abierto (a, b) si es diferenciable
en cada x ∈ (a, b). Es diferenciable en [a, b] si lo es en (a, b) yadem´as cumple que f+ (a)
y f− (b).
La expresi´on
f (x) − f (x0 )
x − x0
Es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (x, f (x)) y (x0 , f (x0 )).
Cuando x se aproxima a x0 esta rectasecante se aproxima a lo que conocemos como la
recta tangente de la gr´afica en el punto (x0 , f (x0 )).

Definici´
on 2 (Recta Tangente) Dada una funci´on f diferenciable en x0 , decimos que
la rectatangente a la gr´afica de f en x0 es la recta que pasa por el punto (x0 , f (x0 )) y
tiene como pendiente f (x0 ). La ecuaci´on de la recta tangente es
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 )

Definici´
on 3(Recta Normal) La recta normal a la gr´afica de una funci´on f en x0 es
la recta perpendicular a la recta tangente de la gr´afica de la funci´on en x0 . Si f (x0 ) = 0,
la ecuaci´on de la rectanormal es
y − f (x0 ) = −

1
(x − x0 )
f (x0 )

Un hecho importante es que la derivabilidad implica continuidad.
Teorema 4 Si f es una funci´on diferenciable en x0 entonces, f es continua en x0
Locontrario no es cierto. Hay funciones que son continuas y no diferenciables en un
punto. Por ejemplo la funci´on f (x) = |x| es continua pero no diferenciable en 0. El
teorema anterior es u
´til para...