Derivadas de orden superior y regla de l’ hôpital

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR
DE ALVARADO

INGENIERÍA MECANICA

Materia:
CALCULO DIFERANCIAL

Semestre-Grupo:
I SEMESTRE “A”

Producto Académico:
TRABAJO DE INVESTIGACION

Tema:
4.7 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y REGLA DE L’ HÔPITAL, 4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

Presenta:
PEDRO DANIEL PEREZ PRIETO, NO. 116Z0146

Docente:
ING. ALFONSO ROSAS ESCOBEDO

H. Y G.ALVARADO, VER. 28 DE NOVIEMBRE DEL 2011

INDICE

INTRODUCCION……………………………………………….3

OBJETIVO GENERAL………………………………………...4

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Y REGLA DE L’ HÔPITAL…………………………………….5

REGLA DE L’ HÔPITAL………………………………………13

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS……………….17

CONCLUSION…………………………………………………..41

BIBLIOGRAFIA………………………………………………….42

INTRODUCCION

DEFINICION
f (x0) = lim
f(x ) - f (x0)
x - x0
y f (x0) = lim
f (x ) - f (x0)
x - x0
La derivada de f en x0 y la derivada de f en x0 están dada por:
.
Consideremos la función , que como ya hemos visto su derivada es 

La Regla de L’Hopital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funciones f(x)/g(x) coincide con el límite del cociente de sus derivadas.

En geometría analitica,hemos visto que la ecuacion 

tiene como representacion grafica una hiperbola que tiene como eje principal el eje  y vertices  y .
Si recordamos la materia de funciones podemos afirmar que tomando algunos sectores de la hiperbola se puede definir funciones, por ejemplo, 

OBJETIVO GENERAL

El alumno aprenderá y aplicara el conocimiento adquirido en la investigación, también se llevara a cabola realización de la practica del tema hablado

4.7 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y REGLA DE L’ HÔPITAL.

DEFINICION
f (x0) = lim
f (x ) - f (x0)
x - x0
y f (x0) = lim
f (x ) - f (x0)
x - x0
La derivada de f en x0 y la derivada de f en x0 están dada por:
.
Consideremos la función , que como ya hemos visto su derivada es 

Podemos notar que  tambi\en es derivable y tiene comoderivada a 
, nuevamente podemos calcular la derivada de esta y obtener 
Se dice que  es la derivada de primer orden y se anota  la funci\on  es la derivada de segundo orden de  y se anota , corresponde a la derivada de tercer orden de  y se anota .
Sea  una funci\on derivable en  y sea  su derivada, se define la derivada de segundo orden de  en  como 

y se denota este límite por .
Se diceque  tiene derivada de orden  en  si  tiene derivada de segundo orden en cada punto de .
Existiendo la derivada de segundo orden de  en  se puede definir en forma analoga la derivada de tercer orden en  como el siguiente límite (si es que existe). 

analogamente se define la derivada de orden  como el límite que involucra la derivada de orden  y se anotar\a por .
Notaciones:

Se definen lossiguientes conjuntos 

Con estos conjuntos podemos definir la siguiente funci\on, llamada operador diferenciable. 

Así
si , 
si , .
si , .
Notemos que la funci\on  pero . Analogamente se puede definir el operador diferencial de orden , 

Así
si , entonces 
si , entonces .
si , entonces  y .
si  entonces .
Como , son funciones, se puede definir la suma y multiplicaci\on por escalar deellas obteniendose otra funciones, por ejemplo. 

Aquí se entiende que  y .
Sea  y , , . Calcule .

Sea ,  y .
Sea 
Calcule  Compare los tres resultado y diga si son iguales o distintos.
Repite lo anterior pero esta vez use las funciones  y .
Tome una funcion generica  y pruebe que
Sea , pruebe que .
Considere la ecuaci\on 

Una solucion de ella en , es una funcion  que satisface laigualdad, por ejemplo la funcion  es solucion de ella ya que 

Muestre que las funciones , ,  y en general cualquier funci\on , donde , son soluciones de la ecuaci\on
Muestre que  y  son soluciones de la ecuaciones 

Muestre que  es tambien solucion de la ecuacion (cualquier sea ).
Muestre que ,  funciones de  son soluciones de la ecuacion 

Muestre que las funciones de , ,  son soluciones...