Derivadas parciales

CÁLCULO SUPERIOR DERIVADAS PARCIALES.

Capítulo 3

DERIVADAS PARCIALES

3.1 DERIVADA PARCIAL. La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y , dejando a x fija y otra según cambia x , dejando a y fija. Suponga quedejamos variar sólo a x , dejando a y fija, digamos y = b , en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x , a saber g(x) = f (x, b) . Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) . De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.

Definición 3.1 (Derivada parcial) Sea f: D ⊆ R2 −→ R una función de dos variables y sea (a, b) ∈ D , entonces la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) está dada por fx (a, b) = g (a) = lim siempre y cuando el límite exista.
Cálculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

h→0

f (a + h, b) − f (a, b) (1) h

12

DERIVADAS PARCIALES

De forma similar definimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) por f (a, b + h) − f (a, b) (2) h

fy (a, b) = g (b) = lim

h→0

Observación: Los límites (1) y (2) son en una variable por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de L Hôpital, etc.

EJEMPLO 3.1

Usando ladefinición de derivada parcial calcule fy (1, 2) para f (x, y) = 2xy2 + x . Solución Usando la definición tenemos que: f (1, 2 + h) − f (1, 2) h

fy (1, 2) = g (2) = = =

h→0

lim

2(2 + h)2 − 8 h→0 h lim lim 2(4 + h) 1

h→0

= 8

Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial: ∂ f (x, y) ∂x ∂ f (x, y) ∂y

fx (x, y) = Dx (x, y) = fy (x, y) = Dy (x, y) =

EJEMPLO3.2

Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto (x, y) es T (x, y) = 2xy2 + x . Además, suponga que x e y están medidas en metros y la temperatura T en grados centígrados. Cómo varía la temperatura T en el punto (1, 2) cuando x permanece fijo en x = 1 ?, Qué

DERIVADA PARCIAL.

3

significa esto ?Solución Del ejemplo 1 tenemos que f (1, 2) = 8 con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura T en el punto (1, 2) es de 8 grados centígrados por metro, cuando x esta fijo en 1 . El hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura T de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta x = 1 hacia y = 2 .

Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de lafunción g de una variable que obtenemos al fijar alguna de las variables x o y , su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable. Para calcular fx , considere a y como una constante y derive a f (x, y) con respecto a x . Para calcular fy , considere a x como una constante y derive a f (x, y) con respecto a y .

EJEMPLO 3.3Calcule la derivada parcial fy para f (x, y) = Solución Usando la regla para la derivada del cociente

xy x2 − y2

y también calcule fy (2, 1)

fy (x, y) =

y(x2 − y2 ) − xy(−2y) (x2 − y2 )2 x3 − xy2 + 2xy2 (x2 − y2 )2

= 10 . 9

con lo cual fy (2, 1) =

EJEMPLO 3.4

Calcule zx y zy , si z está definida implícitamente como una función de x e y , mediante la siguiente ecuación

x3 + y3+ z3 + 6xyz = 2

4

DERIVADAS PARCIALES

Solución Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a x , que: ∂z ∂z + 6yz + 6xy =0 ∂x ∂x

3x2 + 3z2 Y al despejar ∂z , obtenemos que: ∂x

x2 + 2yz ∂z =− 2 ∂x z + 2xy De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a y , nos da ∂z y2 + 2xz =− 2 ∂y z + 2xy

EJEMPLO 3.5

Calcule Solución

∂z para...