Derivadas parciales

0 ÐBß CÑ œ  0 ÐBß CÑ œ  0 ÐBß CÑ œ 

BC# % C# B

0
B C B# C#
# #

si ÐBß CÑ Á Ð0,0Ñ si ÐBß CÑ œ Ð0,0Ñ si ÐBß CÑ Á Ð0,0Ñ si ÐBß CÑ œ Ð0,0Ñ

1.2

0
$B% C B% C#

1.3 "Þ% a) b) c) d) e) f.) # 2.1

si ÐBß CÑ Á Ð0,0Ñ 0 si ÐBß CÑ œ Ð0,0Ñ C‰ 0 ÐBß CÑ œ E1ˆ B
`0 `0 `0 `0

Determine, si existe `B`C a0,0b y `B`C aBß C b, si ÐBß CÑ Á Ð0,0ÑÞ
` #0 ` #0

Determine, si existe `C#a0,0b y `C# aBß C b, si ÐBß CÑ Á Ð0,0ÑÞ ` #0 ` #0 Determine, si existe `C`B a0,0b y `C`B aBß C b, si ÐBß CÑ Á Ð0,0ÑÞ
` #0 ` #0

Determine, si existe `C a0,0b y `C aBß C b, si ÐBß CÑ Á Ð0,0Ñ. ` #0 ` #0 Determine, si existe `B# a0,0b y `B# aBß C b, si ÐBß CÑ Á Ð0,0ÑÞ

Determine, si existe `B a0,0b y `B aBß C b, si ÐBß CÑ Á Ð0,0ÑÞ

Sean

C ?ÐBß CÑ œ 68È B#  C# y @ÐBß C ) œ E1ˆ B ‰Þ Pruebe que:`? `@ `C + `B =0.

2.2

Considere la función diferenciable A œ 0 ÐBß CÑ, donde B œ Ñ es solución de la ecuación

diferencial de ondas

-# ` 0 œ `B#

#

` #0 `># , para cada entero 8

de la constante - . 4.2 Consi. ere la función Demuestre que 4.3 Sea
.A .>

DÐBß CÑ œ =/8ÐB  +CÑ  68ÐB  +CÑÞ `# `# D es solución de la ecuación de ondas +# `BD œ `CD # #
>

AÐBß CÑ œ 68ÐB#  C#Ñ, B œ / # , .A y .> ¸ Þ
>œ!

e

C œ /> . Calcule

&

Si

? œ 0 ÐBß CÑ,

ˆ `? ‰#  Š `? ‹ œ /#= Šˆ `? ‰#  ˆ `? ‰# ‹. `B `C `= `>
#

donde B

œ /= -9=Ð>Ñ

e

C œ /= =/8Ð>Ñ, pruebe que:

'

Sea

?ÐB" ,B2 , ... ,B8 Ñ œ /+"B" +# B#  ÞÞÞ+8 B8 , donde # # # +"  +#  ÞÞÞ+8 œ "Þ Puebe que: ` #? ` #? ` #? #  `B#  ÞÞÞ  `B# œ ? `B
" # 8

(

Pruebe que la ecuacióndel plano tangente a la superficie definida por: en el punto ÐB! ,C! ,D! Ñ se puede escribir en la forma:
C D œ E1ˆ B ‰: 1 Determine la ecuación del plano tangente a la superficie W en el punto Ð"ß "ß % Ñ Determine las ecuaciónes paramétricas de la recta normal a la superficie W en el 1 punto Ð"ß "ß % Ñ B! B +# B# +#

 

C# D # ,# + - #

œ" œ"

C! C D! D ,# + - #

8

Considere lasuperficie 8Þ" 8Þ#

W

definida por la ecuación

*

Encuentre las ecuaciones de el plano tangente, y la recta normal a la superficie W definida por DÐBß CÑ œ =/8ÐB  +CÑ  68ÐB  +CÑen el punto Ð 1 ß !ß "  68ˆ 1 ‰Ñ. # # Hallar una ecuación para el plano tangente y ecuaciones simétricas de la recta normal a la superficie W C 1 definida por D œ E->1ˆ B ‰, en el punto ˆ"ß "ß % ‰Þ La longitud 6,el ancho A y la altura 2 de una caja cambian en el tiempo. En un cierto instante las dimensiones son 6 œ 1 metro, A œ 2 œ 2 metros. Además 6 y A se incrementan a una tasa de 2 mts/seg., en tanto que 2 disminuye a razón de 3 mts/seg. Determine la variación respecto del tiempo del volumen de la caja. La longitud 6, el ancho A y la altura 2 de una caja cambian en el tiempo. En un cierto instante lasdimensiones son 6 œ 25 metros, A œ "# metros y 2 œ $' metros. Además 6 se incrementa a una tasa de 2 mts/seg., A decrece a razón de 5 mts/seg. y 2 crece a razón de 3

10

""

1#

mts/seg. Determine la rapidez con que varía el área lateral de la caja. 1$ El radio de un cono circular recto se incrementa a razón de 1,8 cm/seg., mientras que su altura disminuye a una tasa de 2,5 cm./seg. .¿Aqué tasa cambia el volumen del cono si el radio es de 120 cms. y la altura es 140 cms. Sea ) ubicado entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles, y sea B la longitud de cada uno de esos lados. Si B está aumentando a razón de 1/2 mt por hora, y ) está creciendo a razón de 1/90 radianes por hora. Calcule el ritmo de de crecimiento del área cuando B œ ' y ) œ 1/% . La altura 2 de unapirámide de base rectangular se incrementa a razón de 1,8 m cm/seg., en tanto que los lados de la base + y , disminuyen a una tasa de 2,1 cm./seg. simultáneamente. Determine a que tasa varía el volumen de la pirámide cundo la altura es 100 cm. y los lados + y , miden 20 y 25 centímetros respectivamente (volumen de la pirámide= área de la base x altura dividido en 3). La producción de una empresa...