Derivadas parciales

DERIVADAS PARCIALES

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables e podemos medir dos razones de cambio: una según cambia , dejando a fija y otra según cambia , dejando a fija.
Suponga que dejamos variar sólo a , dejando a fija, digamos , en donde es una constante.Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable , a saber . Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma análoga podemos hacerlo para variable y fija.
 
  |  Definición  (derivada parcial) |
  | Sea una función de dos variables y sea , entonces la derivada parcial de con respecto a en es
siempre y cuando el límiteexista. De forma similar definimos la derivada parcial de con respecto a en por |

Observación: los límites de la definición   son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôspital, etc.
Ejemplo 1
Usando la definición de derivada parcial calcule para
Solución
Usando la definicióntenemos que:

Ejemplo 2
Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto es . Además, suponga que e están medidas en metros y la temperatura en grados centígrados. ¿Cómo varía la temperatura en el punto cuando permanece fijo en ?, ¿Qué significa esto ?
Solución
Del ejemplo 1 tenemos que con lo cual larapidez de cambio de la temperatura en el punto es de 8 grados centígrados por metro, cuando esta fijo en . El hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta hacia .
Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función de una variable que obtenemos al fijar alguna de las variables o , su cálculo se realizade la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable.
Para calcular , considere a como una constante y derive a con respecto a .
Para calcular , considere a como una constante y derive a con respecto a .

Ejemplo 3
Calcule la derivada parcial para y también calcule
Solución
Usando la regla para la derivada del cociente

con lo cual .Ejemplo 4
Calcule y , si está definido implícitamente como una función de e , mediante la siguiente ecuación

Solución
Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a , que:

Y al despejar , obtenemos que:

De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a , obtenemos da

Ejemplo 5
Calcule para la función
Solución
Para calculardebemosaplicar repetidamente la regla de la cadena

El siguiente ejemplo muestra que algunas veces no queda más que recurrir a la definición para calcular una derivada parcial.
Ejemplo
Si , calcule.
Solución.
Observe que si calculamos la derivada parcial usando las reglas de derivación usuales obtenemos que

y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada ; esto nos puede llevar a laconclusión errónea de que la derivada parcial no existe.
Ahora usemos la definición

Por lo tanto la derivada parcial con respecto a existe y es .

Derivadas de orden superior
Si es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:
para en el dominio de .
Si para algunos valores existe el se dice que existe la segunda derivada de la función que se denota por o , queequivale a . O sea, la segunda derivada de la función se obtiene derivando la primera derivada de la función.
Ejemplos:
1. Si entonces:
y

2. Si entonces:
y derivando nuevamente

Por tanto
Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la tercera derivada de respecto a "x" que se denota o .
La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y así...