DERIVADAS REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena es la fórmula resultante de la derivada de la composición de funciones.

REGLA DE LA CADENA.
Sea una función . La función g(x) es una función compuesta ya que estáformada por una función f(x) que se encuentra dentro de otra, la raíz cuadrada. Para obtener su derivada se puede utilizar la definición de derivada:

Si considero a la función como , la derivada .Por lo tanto, el resultado del ejemplo anterior se puede escribir como el producto de dos derivadas: y dado que la derivada se puede ver como el cociente de dos diferenciales:
.
En un caso másgeneral, sea , esto es, una función compuesta. En el argumento de la función g hay otra función, f(x). La derivada de g como función de x se escribe como . Supongamos que se hace un cambio devariable donde . La función se puede escribir, entonces, como y por lo tanto, su derivada es . Dado que u es una función de x se puede derivar: . Por inspección de los últimos dos términos, se puedever que si se hace el producto entre ellos:

Dado que los diferenciales du se pueden eliminar.
Ejemplo 1.
Sea la función . Esta es una función compuesta en la que:

La derivada de cada unode los términos es:

entonces,

y dado que
.
Ejemplo 2.
Sea la función . La función compuesta se puede ver como donde . Se quiere demostrar que el resultado obtenido utilizando la regla dela cadena es el mismo que si se resuelve el cubo. Utilizando la regla de la cadena:

Ahora resolviendo el cubo antes de derivar:

El resultado es el mismo.
Sean dos funciones g=g(u) yu=u(x) para las cuales las derivadas existen. La función compuestra tiene una derivada dada por:
.
Si se tiene una función donde , entonces, las derivadas de cada una de las funciones son y .Así, .
Regla de la potencia para funciones.
Sea donde g es una función derivable, entonces,
.
Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de función afín

Derivada de una potencia...