Regla De La Cadena

Recordar: (fog)(x)=f(g(x))
Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Descripción de la Regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x;entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica [editar]
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en , entonces la función compuestaes diferenciable en y

Notación de Leibniz [editar]
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

donde indica que f depende de g como si ésta fuera una variable.
Ejemplos de aplicación [editar]
Ejemplo Conceptual [editar]
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6°F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemplo Algebraico [editar]
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x)es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:

o también

Ejemplo:
Si tenemos una función del tipo: f(x) = (x2 + 3)3 aplicamos regla de la cadena y el resultado sería:
f'(x) = 3(x2 + 3)2 * 2x
Como vemos, en la práctica es mucho más fácil entender el concepto y con práctica lo haremos de memoria sin darnos cuenta que utilizamos la regla de la cadena.
Derivadas deOrden Superior [editar]
Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. algunas de ellas son:













Suponiendo que f indica una función definida en un entorno de x=a, se dice que f es derivable en x=a, si el siguiente límite es finito
(Lo designaremos por )
El número se llama derivada de f en x=a.
Cuando el límite anterior da ó , y la funciónf es continua en x=a, se dice que f tiene derivada infinita en x=a (gráfica 1, inferior).
Cuando el límite anterior no existe, pero existen los dos límites laterales (por tanto, serán distintos), se dice que f tiene un punto anguloso en x=a (gráfica 2, inferior).
                      
Relación entre continuidad y derivabilidad
Es importante que no olvides lo siguiente:
Siempre que exista, fserá continua en x=a, pero hay casos en que, siendo f continua en un punto, no existe la derivada en dicho punto (gráfica 2, superior).
Ejemplo: Función , en punto x=0
Como |x| y son continuas, f también. Pero,


Interpretación de la derivada
Las interpretaciones del número son muchas y muy variadas. Te interesan, sobre todo, las siguientes:
1. es la pendiente de la recta, t, que resulta como límitede la secante AB cuando el punto B tiende a confundirse con el A. Dicha recta se llama tangente a la gráfica en el punto A(a, f(a))

2. Cuando f indica el espacio, y x el tiempo, entonces es lo que se llama velocidad en el instante x=a.
3. En un punto anguloso, la función es continua, y no es derivable, porque en él no hay una recta tangente, sino dos semitangentes, como muestra la siguientegráfica.

Función derivada. Derivadas sucesivas
Para cada valor de x, en el que f sea derivable, tendremos el número f’(x). Así, si asociamos cada x con el número f’(x), tendremos una nueva función (obtenida a partir de f ). Dicha función se llama derivada de f, y se designa por f’

La derivada 2ª de f es, la derivada de f’, y se indica por f". La derivada 3ª de f es la derivada de f", etc....