Derivadas simples y parciales

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS SIMPLES Y PARCIALES A LA ECONOMÍA

TEMA: “DETERMINACIÓN DEL COSTO MÍNIMO AL CONSTRUÍR LOS ENVASES CILÍNDRICO Y UN PARALELEPÍPEDO PARA LA EMPRESA “ANDINO PERÚ S.A.” CONSERVADORA DE PESCADO”

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Calcular el costo mínimo del envase cilíndrico para envasar conservas de pescado, cuyo envase contendría un volumen de 100 cm3. Los costospara las partes superior e inferior es de S/. 3 por cm2; el costo del material utilizado en la parte lateral es de S/. 2 por cm2.

Para determinar el costo mínimo del envase de un paralelepípedo tomándose en cuenta las condiciones o datos anteriores, y hacer una comparación para establecer cuál es lo más beneficioso para la empresa agroindustrial “Andino Perú S.A.”

2. FUNDAMENTO TEÓRICOPara dar solución a este problema utilizaremos los siguientes conceptos:

1. Pasos para la construcción del cilindro:

a) Espacio ocupado por un cuerpo, donde se utiliza la fórmula
, r es el radio y h es la altura.
b) Área de un cilindro: Superficie comprendida dentro de un perímetro, se utiliza la fórmula.c) Determinación de la función a través del costo total a construir del envase.

Donde:
▪ Costo de parte sup. = (costo por cm2) x (área de la parte superior)
▪ Costo de parte inf. = (costo por cm2) x (área de la parte inferior)
▪ Costo de la parte lateral = (costo por cm2) x (área de la parte lateral)

d)Derivada de una función: La derivada de una función f(x) respecto de “x” es la función f’(x) (se lee “f prima de x”) y está dada por:

y el proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que f(x) es derivable en C si existe f’(c) (es decir, si el límite del cociente diferencial existe cuando x = c). La pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en el punto (c,f(c) ) está dada por mtg = f’(c). La cantidad f(x) cambia a razón f’(c) respecto de x cuando x = c.
▪ Criterio de la primera derivada: f’(x)
▪ Criterio de la segunda derivada: f’’(x)

La función f(x) respecto de x es la derivada f’(x) y de igual forma, la razón de cambio de la función f’(x) respecto de x es su derivada ( f’(x) )’. Estanotación es poco elegante, de modo que la derivada de la derivada de f(x) se escribe como ( f’(x) )’= f’’(x) y se denomina la segunda derivada de f(x) (léase f’’(x), “ f doble prima de x “). Si y = f(x), entonces la segunda derivada de y respecto a x se expresa como y’’ o como la segunda derivada expresa la razón de cambio de la función original

d) Determinación de máximos y mínimos:Sucede cuando:
▪ f(x) tiene un máximo en x = x0. si, f’(x) = 0 y f’’(x0) ( 0
▪ f(x) tiene un mínimo valor en x = x0. si, f’(x0) = 0 y f’’(x0) ( 0

2. Pasos para la construcción del Paralelepípedo (caja):

a) Volumen de una caja donde: (V) es el volumen, (a) es el ancho, (b) es el largo y (c) es la altura.

b) Área de una cajae) Determinación de una función. En este caso es el costo total.

f) Derivada de una función: (Lo dicho en el concepto anterior)

▪ Criterio de la primera derivada: f’(x)
▪ Criterio de la segunda derivada: f’’(x) (Lo mencionado en el concepto anterior)

g) Derivadas parciales: Sea z = f(x,y) una función de dos variables sellama derivada parcial de f con respecto a x e y; se denota por

( f = lím f (x + (x , y) – f(x , y)
( x (x ( 0 (x

Es decir cuando derivamos con respecto a x, la variable y se considera constante.

También puede darse el caso de:

( f ; (z ó fy al límite
( y (y...