Derivadas Trigonometricas

Derivadas de las funciones trigonométricas
Completamos en este tema la derivación de las principales funciones reales de variable real que venimos manejando, estudiando la derivabilidad de las funciones trigonométricas y sus inversas. Ello nos permitirá, como una nueva aplicación del Teorema del Valor Medio, probar las identidades trigonométricas más usuales y, en general, mejorarsustancialmente el conocimiento de las funciones trigonométricas y sus inversas. Encontraremos también nuevas aplicaciones de las reglas de l’Hôpital, así como el ejemplo, varias veces prometido, de una función derivable en un intervalo cuya derivada no es continua.


Derivada del arco coseno

Para la derivación de las funciones trigonométricas seguiremos el mismo camino usado en su momento para definirlas,empezando por la función arco coseno. La función arco coseno es derivable en ] − 1, 1[ con arc cos (x) = √ y no es derivable en 1 ni en −1 . Para la demostración debemos obviamente recordar la función arco coseno y la notación que se usó para definirla. La semicircunferencia unidad era la curva Γ : [−1, 1] → R2 dada por Γ(t) = t, ψ(t) = t, 1−t 2 ∀t ∈ [−1, 1] −1 1 − x2 ∀ x ∈] − 1, 1[ (1)Usaremos que la función ψ es derivable en ] − 1, 1[ con ψ (t) = √ −t 1−t 2 ∀t ∈ ] − 1, 1[

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8. Derivadas de las funciones trigonométricas

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Sabemos que Γ es rectificable con longitud Λ(Γ) = π . Para x ∈ [−1, 1] denotamos por Γx a la restricción de Γ al intervalo [x, 1] , que también es rectificable, y recordamos la definición del arco coseno: arc cos : [−1, 1] → [0, π] , arc cos x = Λ(Γx ) ∀x ∈ [−1, 1] Dados x, y ∈ [−1, 1] con x < y , denotamos por γx,y a la restricción de Γ al intervalo [x, y] , que también es una curva rectificable, verificándose que arc cos x − arc cos y = Λ(γx,y ) (2)

Pues bien, suponiendo x 0 , el Teorema del Valor Medio nos dará estimaciones por defecto y por exceso de esta longitud, que nos llevarán fácilmente al resultado deseado. Suponemos 0 x < y < 1 yaplicamos el Teorema del Valor Medio a la restricción de ψ al intervalo [x, y] , que es derivable en dicho intervalo, obteniendo c ∈]x, y[ tal que −c (y − x) ψ(y) − ψ(x) = ψ (c) (y − x) = √ 1 − c2 Denotando como siempre por d a la distancia euclídea en el plano, deducimos claramente que Λ(γx,y ) d Γ(x), Γ(y) = (y − x)2 + ψ(y) − ψ(x) = 1 + ψ (c)
2 1/2 2 1/2

(y − x) = √

1 1 − c2

(y − x)

√1 1 − x2

(3) (y − x)

y tenemos la estimación por defecto que buscábamos. Para obtener la estimación por exceso, fijamos una partición P = {x = t0 < t1 < . . . < tn = y} del intervalo [x, y] . Para k = 1, 2, . . . , n , aplicamos de nuevo el Teorema del Valor Medio a la restricción de ψ al intervalo [tk−1 ,tk ] , obteniendo ck ∈]tk−1 ,tk [ tal que ψ(tk ) − ψ(tk−1 ) = ψ (ck ) (tk − tk−1 ) =Razonando como ya hicimos antes obtenemos d Γ(tk−1 ), Γ(tk ) = 1
2 1 − ck

−ck
2 1 − ck

(y − x)

(tk − tk−1 )

1 1 − y2

(tk − tk−1 )

Para la longitud de la poligonal asociada a la partición P obtenemos entonces que
n

λ(γx,y , P) =

∑ d Γ(tk−1), Γ(tk )
k=1

∑ (tk − tk−1) = 1 − y2
k=1

1

n

1 1 − y2

(y − x)

Puesto que esta desigualdad es válida para todapartición P del intervalo [x, y] deducimos Λ(γx,y ) que es la estimación por exceso buscada. 1 1 − y2 (y − x) (4)

Derivadas de las funciones trigonométricas

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En resumen, en vista de (2), las desigualdades (3) y (4) nos dicen que 0 x < y < 1 =⇒ y−x ψ(x) arc cos x − arc cos y y−x ψ(y)

Equivalentemente, dividiendo por el número negativo x − y , las desigualdades se invierten y obtenemos −1arc cos x − arc cos y −1 0 x < y < 1 =⇒ (5) ψ(y) x−y ψ(x) Las cosas son ya bastante inmediatas, pues esta desigualdad encierra toda la información que necesitamos. Sea f : [0, 1[→ R la restricción de la función arco coseno al intervalo [0, 1[ . Para a ∈]0, 1[ , podemos aplicar (5) con y = a , y usando la continuidad de la función ψ obtenemos claramente f (a−) = l´m ı
x→a−

f (x) − f (a) −1 =...