Derivadas Uba Xxi

Modalidad virtual

Matemática

DERIVADAS
Derivada de
una función
en un punto

Definición .
Si f(x) es una función continua y a es un punto de su dominio, la derivada de f en a se
define como:

f( x) f( a)
x a

lím

xa



Si el límite existe y es un número real, se dice que f es derivab le en a. Al valor del
límite se lo llama derivada de f en a y se lo denota f' ( a)

Si el límite no existe en a, esto es, cuando x tiende a a por izquierda y por derecha,
resulta que los límites laterales son distintos, decimos que la fun ción no es
derivable en a.



Al cociente

f ( x) f (a )
se lo llama cociente incremental. Por lo que la derivada de
x a

la función en a es el límite cuando x tiende a a del cociente incremental.


Como x está próximo aa podemos escribir que x = a + h siendo h un número
pequeño, en valor absoluto muy próximo a cero. Y es x - a = h

f( x ) f( a )
f( a h ) f( a )
como
x a
h

Por lo que podemos escribir a
Y entonces es
'

f (a )  lím

f( x) f( a)
x a

x  x0

= lím

f (a h ) f( a )

h 0

h

El número f ' ( a ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto(a; f(a) )

Llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a)) a la recta que
pasa por ese punto y cuya pendiente es f ' ( a )

Ejemplo 1.


2

Calcular, usando la definición de derivada, f' ( a ) si f(x) = x + 3 y a = 1

Solución.
Por definición es f ' (a )  lím

h 0

f( a h ) f( a)
h

En el este caso es a = 1, por lo que debemos hallar:

f ' (1) lím

h 0

f(1 h ) f(1)
h

Para ello calculamos
2

2

f(1+ h ) = (1+h) + 3 = 1 + 2h + h + 3
2

= 2h + h + 4
2

f(1) = 1 + 3 = 4
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas

1

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Reemplazamos en la fórmula:

2h h 2 4 4

f' (1) lím

h 0

 lím

2h h 2

h 0

h

h

La última expresión podemos escribirla como:

h(2 h)
 lím (2h )
h 0
h
h 0
lím

Por lo que es

lím

f(1 h ) f (1)

h 0

 lím ( 2 h ) 2
h 0

h

En consecuencia la pendiente de la recta tangente a la función en el punto
(a; f(a)) = (1; 4) es

f' ( a) 2

Observación.
Si en vez de calcular f ' ( a ) mediante f ' (1) lím

f(1 h) f(1)

h 0

f ' (1) lím

f ( x) f (1)

x1

x 1

f' (1) lím

lo hacemos porla fórmula

llegamos al mismo resultado :

f( x ) f(1)
x 1

x 1

h

lím

x 1

x

2

2

3 4
x 1
lím
x 1
x 1 x 
1

2

Como es x – 1 = (x+1)(x -1) reemplazando es:

f( x ) f(1)
x2 
1
( x 1)( x 1)
 lím
lím
lím x  2
1
x 1 x 
1
x 1 x 
1 x 1
x 1
x 1

f' (1) lím

Ejemplo 2
Calcular, usando la definición de derivada, f' ( a ) sif(x) = 3 - x y a = 0
Solución
Por definición es

f ' ( a ) lím

f(a h) f(a )

h 0

h

Y siendo a = 0 es

f(0 h) f (0 )
h 0
h

f ' ( 0 ) lím
Calculamos:

f(0+h) = 3 – (0+h) = 3 – h
f(0) = 3 – 0 = 3

UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas

2

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Reemplazando:

f ' (0 )  lím

f( 0 h ) f( 0)

h 0

lím

h 0

h

3 h 33 h 3

h
lím
lím
lím 1 1
h
h 0
h
h 0 h h  0

Luego es

f ' ( 0) 1

Al hallar la derivada de una función en un punto f ' ( a ) , dijimos que el número f ' ( a ) es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a) ).
Y además, l lamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a )) a la
recta que pasa por ese punto y cuyapendiente es f' ( a ) .
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, usamos la expresión
'

y f( a) f (a ) ( x a )
Vamos a utilizar estos conceptos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.
2

Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x – x en (2; 2).
Hallar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta.
Solución:
Observamos que (a; f(a)) = (2; 2) por...