Derivadas

DERIVACIÒN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones Exponencial y logarítmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:
Al pararse una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda?
Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿Qué se espera que suceda?
Al hacer un préstamo en dinero a un amigo ¿Qué se espera que suceda?
Al jugar un partido de tenis y lanzar lapelota al adversario ¿Qué se espera que suceda?

Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividades anteriores, si ésta cumple con ciertas condiciones:

La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por [pic], como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno(biunívoca).

Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o siempre decreciente, indica que tiene función inversa.

Una función expònencial está definida por y = [pic], en base ala definición de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones [pic] y ln y tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y” de la ecuación [pic] resulta [pic], quese define como función logaritmica.
Gráficamente las funciones exponencial f(x) = [pic] y logaritmica [pic] quedan de la siguiente forma:

Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar de “e”, basándose en la definición de logaritmo común, se transforma en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y” de la ecuación x = log “ y “ , resulta y = log x , que se define como una función logarítmica su gráfica es idéntica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda [pic].
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.

Partiendo de la fórmula para derivar la función ln V, deduciremos las demás fórmulas:

[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic]

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS.

1) Calcular la derivada de la siguiente función logarítmica [pic]

Solución por fórmula:

[pic]
[pic]

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando propiedades de los logaritmos.

2) Calcular la derivada de la siguiente función exponencial [pic]

Solución aplicando propiedades de loslogaritmos:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando fórmulas.

DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

[pic]
Solución: [pic]

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]
6. [pic]

7.[pic]

8. [pic]

9. [pic]

10. [pic]

FÓRMULAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

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