Derivadas

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICE-RECTORADO ACADEMICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA AREA DE MATEMATICAS

GUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO IV

Puerto Ordaz, Mayo del 2010.

Capıtulo 4

La Derivada

4.1

La Recta Tangente

o Definici´n 4.1 Definici´n de la recta tangente con pendiente m o Si f est´ definida en un intervalo abierto que contiene a c y adem´s existeel l´ a a ımite ∆y f (c + ∆x) − f (c) = lim =m ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x entonces, la recta que pasa por (c, f (c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente lim a la gr´fica de f en el punto (c, f (c)). a Ejemplo 1 Encontrar la pendiente de la gr´fica de f (x) = 2x − 3 en el punto (2, 1) a limx→3 2x − 5 = 1 encontrar δ tal que |(2x − 5) − 1| < 0.01, siempre que 0 < |x − 3| < δ

Soluci´n: Paraencontrar la pendiente de f cuando c = 2, aplicamos la definici´n de la o o pendiente de una recta tangente.

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∆x→0

lim

f (2 + ∆x) − f (2) = ∆x

[2(2 + ∆x) − 3] − [2(2) − 3] ∆x 4 + 2∆x − 3 − 4 + 3 = lim ∆x→0 ∆x 2∆x = lim ∆x→0 ∆x = lim 2
∆x→0

lim

∆x→0

= 2

Figura 4.1: La pendiente de f en (2, 1) es m = 2

Ejemplo 2 Calcular las pendientes de las rectas tangentes a f (x) = x2+ 1 en los puntos (0, 1) y (−1, 2)

Soluci´n: Sea (c, f (c)) un punto cualquiera de f . La pendiente de la recta tangente en ´l o e se encuentra mediante:

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f (c + ∆x) − f (c) lim = ∆x→0 ∆x

[(2 + ∆x)2 + 1] − (c2 + 1) lim ∆x→0 ∆x c2 + 2c(∆x) + (∆x)2 + 1 − c2 − 1 = lim ∆x→0 ∆x 2 2c(∆x) + (∆x) = lim ∆x→0 ∆x = lim (2c + ∆x)
∆x→0

= 2c

Figura 4.2: La pendiente de f en un puntocualquiera (c, f (c)) es m = 2c

4.2

Derivada de una Funci´n o

Definici´n 4.2 Definici´n de la derivada de una funci´n o o o La derivada de f en x viene dada por: f (x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x siempre que exista ese l´mite. Para todos los x para los que exista este l´ ı ımite, f ’ es una f (x) = lim funci´n de x. o

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El proceso de calcular la derivada de una funci´n se llama derivaci´n. Unafunci´n es o o o derivable en x, si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.

Ejemplo 3 Calcular la derivada de f (x) = x3 + 2x

Soluci´n: o f (x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x) − x3 + 2x lim ∆x→0 ∆x 3 2 (x + 3x ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 + 2∆x lim ∆x→0 ∆x ∆x[3x2 + 3x∆x + (∆x)2 + 2] lim ∆x→0 ∆x 2lim [3x + 3x∆x + (∆x) + 2] lim
∆x→0 2

f (x) = = = = =

= 3x + 2

Ejemplo 4 Encontrar f (x) para f (x) =

√

x. Calcular luego la pendiente de la gr´fica de f a

en los puntos (1, 1) y (4, 2). Analizar el comportamiento de f en (0, 0)

Soluci´n: o

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f (x) = = = = = = =

f (x + ∆x) − f (x) ∆x √ √ x + ∆x − x lim ∆x→0 ∆x √ √ √ √ x + ∆x − x x + ∆x + x lim ( )( √ √ ) ∆x→0 ∆x x+ ∆x + x (x + ∆x) − x √ lim √ ∆x→0 ∆x( x + ∆x + x) ∆x √ lim √ ∆x→0 ∆x( x + ∆x + x) 1 lim √ √ ∆x→0 ( x + ∆x + x) 1 √ ,x > 0 2 x
∆x→0

lim

4.3

Reglas B´sicas de Derivaci´n a o

Teorema 1 Regla de la contante La derivada de una funci´n constante es 0. es decir, si c es un n´mero real, entonces o u d [c] = 0 dx Teorema 2 Regla de las potencias Si n es un entero positivo, entonces d n x =nxn−1 dx Ejemplo 5 Derivar y = x

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Soluci´n o dy = 1x1−1 = 1x0 = 1 dx Ejemplo 6 Derivar y = x6

Soluci´n o dy = 6x6−1 = 6x5 dx Teorema 3 Regla del m´ltiplo constante u Si f es una funci´n derivable y c un n´mero real, entonces cf tambi´n es derivable y o u e d [cf (x)] = cf (x) dx Ejemplo 7 Derivar y =
4t2 5

Soluci´n o dy 4 4 2 4 8 = [ t2 ] = [t ] = (2t) = t dt 5 5dt 5 5 Ejemplo 8Derivar y =
2 1 √ 3 2 x

Soluci´n o
5 1 2 1 dy d 1 −2 = [ x 3 ] = (− )x− 3 = − 5 dx dx 2 2 3 3x 3

Teorema 4 Las reglas de suma y diferencia La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables f y g es derivable 92

s´ Adem´s, la derivada de f + g (´ f − g) es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas ı. a o de f y g. d [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) dx
4...