Derivadas

Trabajo Resumen: Derivada

Introducción
La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa
con las funciones, y permite resolver numerosos problemas de geometría,
economía, física y otras disciplinas.

DERIVADA
Recta Tangente y Derivada
Para introducir el concepto de derivada, se recurre por lo general a un
problema físico y otro geométrico: El cálculo de lavelocidad instantánea de un
móvil y la definición de la recta tangente a una curva en un punto de la misma
respectivamente. Se considerara solo la segunda situación de la recta
tangente.
En la figura, la recta que debería ser la recta tangente a la curva en el punto P,
intercepta a la curva en otro punto Q.

Figura 1

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la grafica deuna
función en un punto, se emplea el concepto de límite, a fin de definir la
pendiente de la recta tangente en el punto. Después, la recta tangente se
determina por medio de su pendiente y el punto de tangencia.
Se desea definir la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto
P (x₁, f (x₁)) en una función f continua en x₁.

Sea I un intervalo abierto que contiene a x₁, enel cual está definida f. Sea Q

(x₂, f(x₂)) otro punto sobre la grafica de f tal que x₂

también este en I, como en

la figura.

Figura 2
Cualquier recta que pase por dos puntos de una curva se denomina recta
secante, en la figura tenemos rectas secantes para varios valores de x₂.
Interpretación geométrica
La figura 3 muestra una recta secante particular. En esta figura Q esta a laderecha de P. Sin embargo Q puede estar a la derecha o a la izquierda de P
como lo muestra la Figura 2

Figura 3

Figura 4

La diferencia de las abscisas de Q y P en la figura 3 se denota por Δx (se lee
“delta x”) de modo que
.
Donde Δx puede ser positivo o negativo. Δx es el incremento
de x. En la figura 4, Δx se hace cada vez más pequeño, el punto Q se aproxima
cada vez más a P,obteniéndose un haz de rectas secantes cuando Δx
secantes;
0 la
posición limite de estas secantes es la de la tangente a la curva en P,

determinando el ángulo α con el semieje positivo de las x, cuya tangente
trigonométrica del mismo es tg α = ΔY
Δx
Considerando el límite en la igualdad para Δx
0
Lim
Δx

0

ΔY =
Δx

tg α

Lim

Δx

0

Δx

ΔY =
Δx

α

tg Lim

0

ΔxLim

Donde

=

α

tg Lim
Δx

0

0

El límite del primer miembro es, por definición, la derivada de la función, el
límite del segundo miembro, cuando Δx tiende a 0, el incremento de la función
ΔY también tiende a 0, la recta secante se transforma en la tangente
geométrica a la curva en el punto P, por lo tanto el ángulo trigonométrico α
tiende al ángulo α que forma la tangentegeométrica a la curva en el punto P,
localizado este ultimo α sobre las abscisas y queda.
y = tg

lim

α

= tg α

o sea

y = tg α

α α abs
Definición de recta tangente a la grafica de una función
Se supone que la función f es continua en x₁. La recta tangente a la grafica de f
en el punto P (x₁, f (x₁)) es:
I) La recta que pasa por P y tiene pendiente

dada por

Si estelímite existe.
II) La recta x = x₁ si

Si no se cumple ninguno de los dos incisos de la definición, entonces no existe
la recta tangente a la grafica de f en el punto P (x₁, f (x₁)), o sea la derivada en
x₁ que se verá enseguida
La figura muestra la grafica de una función f y su recta tangente cuando
existe la pendiente de la función para x₁

Cociente incremental
La pendiente de la rectasecante PQ en la figura 3 está determinada por

Como x₂ = x₁ + Δx, la ecuación anterior puede escribirse como

Expresión conocida como cociente incremental, representa una variación
media de crecimiento o de decrecimiento de la función en el intervalo
[x₁ ; x₁ + Δx], para tener una idea más aproximada de la rapidez de la variación
de la función, se consideran Δx cada vez menores en la...