derivadas

Algunas Reglas de Derivación
a) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES CERO.-
Sí y = f(x) = c →
Demostración
= f’(x)=

b) LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD ES 1.-
Sí y = f(x) = x →
Demostración
= f’(x) =

c) LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SIMPLE.-
Sí y = f(x) = →
Demostración
= f’(x) =
=

=

d) LA DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA FUNCIÓN POR UN ESCALAR.-
Sí y = k f(x) →Demostración
=

e) LA DERIVADA DE LA SUMA DE DOS FUNCIONES.-
Sí y = f(x)+g(x) →
Demostración
=


f) LA DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.-
Sí y = f(x).g(x) →
Es decir: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la derivada de la primera función por la segunda función.
Demostración
Sea y= F = f(x).g(x), entonces:
=
Ahora restamos y sumamos f(x+h) g(x)en el numerador
=
=
=
=f(x)g’(x)+g(x)f’(x)

g) LA DERIVACIÓN DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES.-
Sí y = →
Es decir: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador dividido por el cuadrado deldenominador.
Demostración
Sea y = F(x) = , entonces

Ahora restando y sumando f(x)g(x) en el numerador se tiene:

=
=

Derivada de una Función Compuesta (Regla de la Cadena).-
El criterio de la regla de la cadena para la derivada de las funciones compuestas, es la herramienta más importante del cálculo diferencial.
Antes de dar una demostración formal, le daremos un tratamientointuitivo y para esto, consideremos dos funciones diferenciables en general:

Entonces “y” se puede expresar en función de x, es decir y = f(u) = f(g(x)) = (f o g)(x) esto viene hacer la composición de funciones; ahora para calcular su derivada se hace de la forma siguiente:



Ilustraremos mediante un diagramaY u x



NOTA.- Cuando se trata de tres funciones f, g, h, se tiene:
(fogoh)(x) = f’(g(h(x)))g’(h(x))h’(x)

(fogoh)(x)g(h(x) h(x) x



Ejemplo.- Calcular mediante la regla de la cadena
Solución
Sea y =
entonces
Por lo tanto:
Y =
OBSERVACIÓN.- Sea f una función derivable en x0, si y =F(x) = entonces F es derivable en x0 y es dado por:
= F’(x0) =n(f(x0(x0)


Derivación de laFunción Exponencial y Logarítmica.-
a) FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE “a” POSITIVA.-

Sea a + y a ≠ 1, a la función exponencial de base “a” definiremos en la forma:
Expa = { (x, y) ∈ }
Donde su dominio es 1, entonces la función y = ax es decreciente.
Y y


11 y = ax, 0 < a < 1
Y = ax, a > 1
0 x 0 x

Sí a = e función exponencial de base e.
OBSERVACIÓN.-
Del gráfico seobserva que:
y

y = e-x y = ex


1


1 x

1.
2.
3.
4.
b) PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: SÍ a, b > 0, entonces:
1.
2.
3.
4.
5. (ab)x = ax bx
6.
Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes funciones:
1. Y = 2x
2. Y =(
SOLUCIÓN
Como a = 2 > 1...