Derivadas

Cap´
ıtulo 6

La Derivada
6.1.

Definici´n
o

Sea la funci´n y = f (x) definida en alg´n entorno del punto x0 yx otro punto
o
u
perteneciente a dicho entorno. Podemos considerar a x como el resultado de dar
a x0 un incremento x = h = x − x0 as´ tambi´n la funci´n experimenta un
ı
e
o
incremento
y = f (x0 + x) − f (x0 ). Ahora si:
l´
ım

x→0

y
f (x0 +
= l´
ım
x→0
xx) − (f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= l´
ım
x→x0
x
x − x0

existe, la funci´n y = f (x) se dice que es diferenciable o derivable en x0 , y
o
es infaliblemente continua en este punto (el rec´
ıproco no siempre es cierto). Este
l´
ımite lo denotaremos por:
df (x0 )
, y (x0 ), · · ·
dx
Ahora, en general, tomemos como x0 un x cualquiera, entonces:
f (x0 ), Df (x0 ),

f (x) = l´
ım

f(x +

x→0

x) − f (x)
x

Geom´tricamente, el valor de la derivada f (x) representa la pendiente de la tane
gente a la gr´fica de la funci´n y = f (x) en el punto x.
a
o
Los n´meros:
u

1

Luis Zegarra.

Secci´n 6
o

f+ (x) =
f− (x) =

l´
ım

x→0+

l´
ım

x→0−

2

f (x +

x) − f (x)
x
y
f (x + x) − f (x)
x

se llaman derivada por la derecha y por laizquierda en el punto x, respect´
ıvamente.
La condici´n necesaria y suficiente para la existencia de la derivada (x) es la
o
existencia de las derivadas finitas por la derecha y por la izquierda, y tambi´n
e
que se cumpla la igualdad
f− (x) = f+ (x)
Si f (x) = ∞± , se dice que la funci´n f (x) tiene una derivada infinita en el punto
o
x. En este caso la tangente a la gr´fica de la funci´n y = f(x) en el punto x es
a
o
perpendicular al eje X.
Supongamos que f es diferenciable en todos los puntos de cierto intervalo, se dice
entonces que es diferenciable en dicho intervalo.

6.2.

Propiedades B´sicas
a

1. c = 0
2. [cf (x)] = cf (x)
3. [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x)
4. [f (x) g(x)] ?f (x)g(x) + g (x)f (x)

5.

f (x)
g(x)

=

f (x)g(x) − g (x)f (x)
; (g(x) = 0)
g 2(x)

Donde c = constante y f (x) y g(x) son funciones que tienen derivadas en un
punto en cuesti´n.
o

Luis Zegarra.

Secci´n 6
o

3

Ahora, supongamos que la derivada de f es tambi´n diferenciable entonces (f ) =
e
f recibe el nombre de segunda derivada de f . An´logamente, se define la
a
derivada en´sima de f (si existe) y se denota como f (n) .
e

6.3.

DiferencialesDe la definici´n de derivada en un punto x0 podemos escribir
o
y = f (x0 +

x) − f (x0 ) = f (x0 ) x + 0( x)

donde 0( x) es una funci´n de
o

x tal que

0( x)
→ 0 cuando
x

x → 0.

La cantidad f (x0 ) x recibe el nombre de diferencial de la funci´n en el punto
o
en cuesti´n y corresponde a un incremento x de la variable independiente. La
o
diferencial se escribe tambi´n dy obien df (x); estos ultimos s´
e
´
ımbolos no son muy
expresivos, pues no contienen ni a x0 ni a x, pero nos ser´n muy utiles m´s
a
´
a
adelante.
Para la funci´n y = x obtenemos la diferencial dx = 1 · x si elegimos el mismo
o
incremento x para las dos funciones y = f (x) e y = x, obtenemos por sustituci´n dy = f (x0 )dxo bien df (x) = f (x0 )dx, que, dividiendo por dx se convierte
o
endy
df (x)
´ f (x0 ) =
o
dx
dx
Tampoco estos nuevos s´
ımbolos son muy expresivos, pues no contienen a x0 . Aldy
df (x)
gunas veces se escriben
x = x0 ´
o
x = x0 . Sin embargo, lo usual
dx
dx
es que el contexto aclarar´ en que punto hay que tomar la derivada.
a
f (x0 ) =

La cantidad que llamamos cuociente diferencial (de y con respecto de x) aparece
de esta forma realmentecomo un cuociente de dos diferenciales, los de las variables dependiente e independiente corespondiendo a un incremento com´n x.
u
Basados en consideraciones an´logas, para la segunda derivada de f escribiremos
a
d2 y
ı
f (x0 ) = 2 y as´ sucesivamente.
dx

Luis Zegarra.

4

Secci´n 6
o

Cuando se escribe y0 = f (x0 ), x = x0 + x, se tiene y = f (x0 + x) la condici´n
o
de...