Derivadas

SECCIÓN 2.2

2.2

Reglas básicas de derivación y razón de cambio

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Reglas básicas de derivación y razón de cambio
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Encontrar la derivada de una función por la regla de la constante.
Encontrar la derivada de una función por la regla de la potencia.
Encontrar la derivada de una función por la regla del múltiplo constante.
Encontrar la derivada de una función porlas reglas de suma y diferencia.
Encontrar la derivada de las funciones seno y coseno.
Usar derivadas para calcular razón de cambio.

La regla de la constante

y

En la sección 2.1 se usó la definición por medio de límites para calcular las derivadas. Ésta
y las dos próximas secciones presentan varias “reglas de derivación” que permiten calcular
las derivadas sin el uso directo de ladefinición por límites.

La pendiente
de una recta
horizontal es 0
f(x)
La derivada de
una función
constante es 0

TEOREMA 2.2 LA REGLA DE LA CONSTANTE

c

La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces
d
c
0.
dx

x

Se observa que la regla de la constante equivale a decir que la pendiente de una recta
horizontal es 0. Esto demuestra larelación
que existe entre derivada y pendiente

(Ver la figura 2.14)
Sea ƒ(x)
DEMOSTRACIÓN
de límite, se deduce que

Figura 2.14

d
c
dx

c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso

f x
lím
x

lím
x

f x
c

0

lím 0
x

x
x

0

0

f x

c
x
0

EJEMPLO 1 Aplicación de la regla de la constante
Función
a) y

Derivada

dy
0
dx
f x0

7

b)

f x
0
c) s t
3
2, k es constante
d) y k

s t
0
y
0

EXPLORACIÓN

Conjetura Utilizar la definición de derivada de la sección 2.1 para encontrar la derivada de las siguientes funciones. ¿Qué patrones se observan? Utilizar los resultados
para elaborar una conjetura acerca de la derivada de ƒ(x) xn.
a) ƒ(x)
d) ƒ(x)

x1
x4

b)
e)

ƒ(x)
ƒ(x)

x2
x1 2

c)ƒ(x)
ƒ) ƒ(x)

x3
x 1

108

CAPÍTULO 2

Derivación

La regla de la potencia
Antes de demostrar la próxima regla, revisar el proceso de desarrollo de un binomio.

x

x

2

x2

2x x

x

x

3

x3

3x 2 x

x
3x

2

x

2

x

3

El desarrollo general del binomio para un entero positivo n cualquiera es

x

x

n

xn

nx n

1

nn

x

1 xn
22

x

. . .

2

x n.

( x)2 es un factor común en estos términos.

Este desarrollo del binomio se va a utilizar para demostrar un caso especial de la regla de
la potencia.
TEOREMA 2.3 LA REGLA DE LA POTENCIA
Del ejemplo 7 de la sección 2.1,
se encontró que la función f(x) x1 3 está
definida en x 0 pero no es derivable en
x
0. Esto se debe a que x 2 3 no está
definida sobreun intervalo que contiene
al cero.
NOTA

Si n es un número racional, entonces la función ƒ(x)

d n
x
dx

nx n

xn es derivable y

1.

Para que ƒ sea derivable en x 0, n debe ser un número tal que xn
definido en un intervalo que contenga al 0.

1

se encuentre

Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces del desarrollo del binomio

DEMOSTRACIÓN

resulta

d n
x
dxlím
x

xn
x

x

0

xn

nx n

xn
1

1 xn
2

nn

x

lím
x

x

nx n

1

nn

0

nx n 1
nx n 1.

x

2

. . .

x

n

xn

x

0

lím

2

0

. . .

1
2

xn

2

x

. . .

x

n

1

0

Esto demuestra el caso en que n es un entero positivo mayor que 1. Se deja al lector la
demostración del caso n 1. En el ejemplo 7 de lasección 2.3 se demuestra el caso para
el que n es un entero negativo. En el ejercicio 76 de la sección 2.5 se demuestra el caso
en el cual n es racional (en la sección 5.5 la regla de la potencia se extenderá hasta abarcar
los valores irracionales de n).

y
4
3

y

x

Al utilizar la regla de la potencia, resulta conveniente separar el caso para el que n
como otra regla distinta de...