derivadas

Derivadas – Ejercicios resueltos



Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

3x + 2
y =
2x + 3

Solución:

Habíamos visto la derivada de la división de polinomios…

U
Si y =
W

dU dW
W • - U •
dx dx
y’ =
W2

Aplicando esta fórmula, la de la división, y considerando que:

U = 3x + 2
W = 2x + 3

…tenemos que:

(2x + 3) • 3 –(3x + 2) • 2
y’ =
(2x + 3)2


(6x + 9) – (6x + 4)
y’ =
(2x + 3)2


5
y’ =
(2x + 3)2

√ x
y =
x2 + 3

Solución:

Como en el ejercicio anterior, estamos en presencia de la derivada de la división de polinomios…

U
Si y =
W

dU dW
W • - U •
dx dx
y’ =
W2

Aplicando esta fórmula, la de la división, y considerando que:

U = √ x = x1/2W = x2 + 3

…tenemos que:

(x2 + 3) • ½ • x½-1 – x½ • (2x)
y’ =
(x2 + 3)2


(x2 + 3)
2x • √x
2 • √x
y’ =
(x2 + 3)2

Haciendo suma de fracciones:

x2 + 3 – 2x • √x • 2√x

2 • √x
y’ =
(x2 + 3)2


Considerando que √x • √x = x

x2 + 3 – 4x2 -3x2 + 3
y’ = =
2√x (x2 + 3)2 2√x (x2 + 3)2


y = (√ x5 + x4 + x3 + 2 )3

Solución:

En este caso estamos en presenciade función de función de función:

1. Una potencia cúbica,
2. dentro de ella hay una raíz cuadrada,
3. y finalmente, dentro de la raíz hay un polinomio.

1
y = 3(√x5+x4+x3+2)2 • • (5x4+4x3+3x2)
2√x5+x4+x3+2


Simplificamos la raíz cuadrada con la potencia al cuadrado:

1
y = 3(x5+x4+x3+2) • • (5x4+4x3+3x2)
2√x5+x4+x3+2


3(x5+x4+x3+2) (5x4+4x3+3x2)
y =
2√x5+x4+x3+2Obtenga, en caso de existir, los puntos de máxima, mínima e inflexión, de la siguiente función:

y = 2x2 + 5x – 2

Solución:

Obtenemos la primera derivada de esta función:

y’= 4x + 5

Luego, la igualamos a cero para buscar máximos o mínimos:

Y’ = 4x + 5 = 0

Continuamos operando…

4x = -5

x = -5/4 = -1,25

Reemplazamos este valor en la ecuación original:

y = 2x2 + 5x – 2 =2•(-1,25)2 + 5•(-1,25) – 2
= -5,125

Entonces, en el punto ( -1,25 , -5,125 ) tenemos un máximo o un mínimo.

Reemplazaríamos por x = -1,25 en la segunda derivada, aunque no podemos porque es una constante:

y’’= 4 Es valor es positivo, por lo que hay un mínimo.



Igualamos la segunda derivada a cero para obtener el punto de inflexión, cosa que no es posible.

Entonces, no haypunto de inflexión.

Obtenga, en caso de existir, los puntos de máxima, mínima e inflexión, de la siguiente función:

y = x3 + 6x

Solución:

Obtenemos la primera derivada de esta función:

y’= 3x2 + 6

Luego, la igualamos a cero para buscar máximos o mínimos:

3x2 + 6 = 0

Tenemos una ecuación de segundo grado y obtenemos las raíces de x:

0 ± √ 02 – 4 • 3 • 6 ± √–72
x = =
2• 3 6

Tanto x1 como x2 no tienen soluciones con números reales, sino que con números complejos, no hay máximos ni mínimos.

Veamos el punto de inflexión: igualamos la segunda derivada a cero:

y’’= 6x = 0

Por lo tanto…

x = 0/6 = 0

En el punto ( 0 , 0 ) tenemos el punto de inflexión.



Obtenga, en caso de existir, los puntos de máxima, mínima e inflexión, de la siguientefunción:

y = x3 – 3x2 + 1

Solución:

Obtenemos la primera derivada de esta función:

y’= 3x2 - 6x

Luego, la igualamos a cero para buscar máximos o mínimos:

3x2 – 6x = 0

Sacamos factor común x:

x • ( 3x – 6 ) = 0

Para que sea cero, tenemos dos posibles soluciones:

x = 0 o sino ( 3x – 6 ) = 0
3x = 6
x = 6/3 = 2

Entonces, en x=0 y en x=2 tenemos máximos o mínimos.Para saber cuales son, en la segunda derivada, remplazamos los valores de x y vemos si el resultado es positivo (punto de mínimo) o si es negativo (punto de máximo).

y’’= 6x – 6

Para x = 0

6x – 6 = 6•0 – 6 = -6 Es negativo, por lo tanto, en x=0 hay un máximo.

Para x = 2

6x – 6 = 6•2 – 6 = 6 Es positivo, por lo tanto, en x=2 hay un mínimo.

Veamos el punto de inflexión:...