Derivadas

4.1.2. La interpretación geométrica de la derivada.
PROBLEMAS QUE PERMITEN LA APLICACIÓN DEL CALCULO DIFERENCIAL.
La aplicación del cálculo diferencial se puede dar en diferentes áreas del conocimiento, como por ejemplo:
En la economía la derivada se puede utilizar para determinar la utilidad bruta anual de una empresa particular en un determinado período de tiempo.
Con el cálculodiferencial, un ingeniero preocupado en el abastecimiento de agua de una ciudad, puede medir el caudal de un río, el volumen que fluye en este, en una unidad de tiempo.
En la mecánica se puede aplicar el cálculo diferencial para determinar la eficiencia de las máquinas térmicas, es decir, para establecer cuanto trabajo desarrolla en función del tiempo.
El concepto de velocidad del movimientorectilíneo en el área de la física corresponde al concepto más general.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
En el cálculo se desarrollan dos grandes ideas cuyo fundamento se encuentra en el límite de las funciones. En este tema abordaremos el concepto de derivada, asociado a la comparación de dos variables relacionadas.
El concepto derivada de una función surge de manera simultánea en elpensamiento de dos grandes figuras de la matemática del siglo XVII: Isaac Newton y Gottfried Nilhelm Leibnitz. Este término es generado al intentar resolver dos problemas, en apariencia sin relación alguna. Pero que sin embargo son resueltos con idéntica fundamentación. El primero de ellos es de carácter físico y geométrico y lo plantearemos en forma de pregunta.
Dada una curva ¿Cómo hallar larecta tangente a ella en un punto dado?
Desde luego, es necesario comprender el significado exacto de las palabras que forman la pregunta, para intentar contestarla. Primeramente, ¿Qué es lo que viene a tu mente con referencia a la palabra tangente? Recordarás haberlo empleado con relación a una circunferencia, como aquella recta que “toca” un solo punto de esta.


TangenteFigura 1


Secante
Es necesario modificar las concepciones que se tienen para secante y tangente, si estas corresponden a las curvas abiertas, como es el caso de aquellas que están asociadas a las funciones.
y

l2

Figura 2 l1 l3
l4

a b c dx

y
Tangente


Secante

x
Figura 3

La determinación de la tangente a una curva, en un punto dado, se logra mediante la aproximación de un caso extremo, es decir, el límite. Considere la Figura 4. En ella se ilustra una recta secante que pasa por los puntos P y Q, de coordenadas.
P (x0, f (x0))
Q(x0 + (x, f(x0 + (x))

y Q



y = f (x) P



x

x0 x0 + (x

Figura 4

y

P

Q1

Q2

Q3

x

Figura 5Evidentemente aquella que pasa por P y Q3, ya que este último punto es el más cercano a P siguiendo este mismo razonamiento.

“Conforme un punto Q de la curva está mas próximo a P, la pendiente de la secante que pasa por P y Q será un valor más cercano a la pendiente de la recta tangente de la curva en P”.

Lo anterior se verifica si: “la diferencia de las abscisas entre dos puntostienden a cero”. Dicho de otra manera:

Definición:











Por lo tanto: El significado geométrico de la derivada es la siguiente:

“La derivada de una función f(x) para un argumento x, es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la curva dada por la función en el punto (x, f(x))”.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
Definición:







La razón [pic], se...