Derivadas

Cap´
ıtulo 1
Derivadas parciales y
diferencial
Con este tema iniciamos el c´lculo diferencial en varias variables, cuyo oba
jetivo es el estudio de las propiedades de variaci´n de las funciones reales de
o
varias variables reales. Aunque con algunas complicaciones t´cnicas propias
e
del c´lculo de varias variables, en buena medida se seguir´ un camino paralelo
a
a
al seguido en eldesarrollo del c´lculo de una variable. Repasaremos brevea
mente los conceptos de l´
ımite y continuidad de funciones y seguidamente
abordaremos los conceptos de derivada parcial y diferencial. Para facilitar el
aprendizaje, desarrollaremos el tema para el caso de funciones de dos variables reales, aunque todas las nociones que consideraremos son v´lidas para
a
funciones de cualquier n´mero devariables. Por ello, cuando sea conveniente,
u
al final de cada tema mencionaremos brevemente el caso de funciones de tres
variables considerando alg´n ejemplo adecuado.
u

1.1.

Funciones de dos variables.

En las ciencias experimentales, cuando se estudia un determinado fen´o
meno, se da a menudo el caso de que ´ste quede completamente descrito mee
diante una ley que establece unarelaci´n funcional entre varias magnitudes
o
1

fundamentales. As´ por ejemplo, la ley que establece para los gases perfectos
ı,
que, si P , V y T son la presi´n, el volumen y la temperatura absoluta de 1
o
mol de un tal gas, se verifica la relaci´n
o
P V = RT,
donde R es cierta constante (recibe el nombre de ecuaci´n de estado). Si
o
despejamos P en la igualdad anterior, resulta P = RT/V . La expresi´n ano
terior nos dice que la presi´n P es funci´n de T y V y, por tanto, queda
o
o
completamente determinada cuando conocemos T y V . Si mediante alg´n
u
procedimiento hacemos que V y T sean cada vez m´s pr´ximos a cero, ¿haa
o
cia qu´ valor se acerca la presi´n P ?, ¿c´mo podemos determinar un valor
e
o
o
aproximado del incremento de la presi´n en funci´n de losincrementos (peo
o
que˜os) ∆V y ∆T ? Entre otras cuestiones, en este tema veremos c´mo es la
n
o
respuesta a estas preguntas.
Una funci´n de dos variables f es una regla o ley que asocia a cada
o
par (x, y), perteneciente a cierto conjunto D ⊂ R2 , un unico n´mero real
´
u
f (x, y). D recibe el nombre de dominio de la funci´n y x e y son las variables
o
independientes. Es usual usar z paradesignar a la imagen f (x, y) y se dir´
a
que z es la variable dependiente. Una funci´n queda determinada cuando
o
damos la ecuaci´n z = f (x, y) y el dominio D donde se mueve el par (x, y).
o
A veces, s´lo se da la ecuaci´n z = f (x, y), en cuyo caso se entiende que
o
o
el dominio es todo el campo de existencia, es decir, el conjunto formado por
todos los pares (x, y) para los que laecuaci´n en cuesti´n permite obtener la
o
o
correspondiente imagen.

Ejemplos 1.1.1. a) f (x, y) = log(x2 + y 2 ) es una funci´n cuyo dominio es
o
2
todo R menos el origen (0, 0).
√
b) f (x, y) = x · y tiene por dominio la parte del plano que consta de los
cuadrantes primero y tercero, pues s´lo tienen imagen los puntos (x, y) con
o
coordenadas de igual signo: D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0,y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 :
x ≤ 0, y ≤ 0}.
2

Las funciones de dos variables pueden representarse gr´ficamente en el
a
2
espacio de la siguiente forma: Dada f : D ⊂ R → R, escogemos un sistema
de coordenadas cartesianas OXYZ en el espacio y en el plano OXY representamos el dominio D. Para cada (x, y) ∈ D, dibujamos en el espacio el punto
de coordenadas (x, y, f (x, y)). El conjunto formadopor todos los puntos de
la forma (x, y, f (x, y)), con (x, y) ∈ D, es una superficie. Se dir´ que es la
a
representaci´n gr´fica de la funci´n f o que la superficie tiene por ecuaci´n
o
a
o
o
z = f (x, y).

5
4
3
2
1

0
1

0
0

2

1
2

3
3
4

4

Eje =X

Eje OY

Ejemplos 1.1.2. a) f (x, y) = ax + by tiene por representaci´n gr´fica un
o
a
plano.
b) f (x, y) = x2...