Derivadas

Aplicacion de las derivadas
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas deesta teoría no dejan de aparecer.
Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer
f (a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =  
 Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .
 
Medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, esdecir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Se puedehablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.
Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.
       
 
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.
Toda. Función derivable en un punto es continua en dicho punto.El recíproco es falso.
Ejemplo.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Aplicación física de la derivada
 Consideremos la función espacio E= E(t)
La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea,entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

 Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a lacurva. Por lo tanto:

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

 Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas
La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.
Tabla dederivadas de algunas funciones elementales
1) f(x)  =k  f´(x) =0
2) f(x) =  xn  f´(x) = nxn-1
3) f(x) =   f´(x) = 
4) f(x) = ln x  f´(x) = 
5) f(x) = ex  = ex
6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x

Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) +g´(a).f(a)
Además si g(a)0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Regla de la cadena
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica:
(fg)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)
Derivación logarítmica
Como aplicación de la regla de la cadena se...